Vettori allineati ed equazione cartesiana del piano
salve a tutti, scrivo a pochissimi giorni dall'esame perche' sul libro di testo (Crasta - Malusa, Matematica I, lo sconsiglio a tutti) non v'e' traccia umanamente comprensibile di come capire se 3 vettori siano allineati e su come scrivere l'equazione cartesiana del piano per un punto P parallelo al vettore $ v $ ed alla retta $ p $, di cui viene fornita equazione parametrica
chiedo se gentilmente qualcuno puo' scrivermi il procedimento da attuare, sono nel panico piu' assoluto perche' davvero non riesco a sbrogliare questi problemi, che sono usciti nell'ultimo compito e quindi potrebbero riuscire tranquillamente
se puo' essere d'aiuto scrivo anche i valori;
per quel che riguarda il primo quesito:
-stabilire se i punti P (2,1,-1), P1 (2,4,-2) e p2 (2,-5,-3) sono allineati
il secondo:
-siano dati il punto P (2,1,-1), il vettore $ v = ((2), (-1), (0)) $ e la retta $ p $ di equazione parametrica:
$p = {(x=2),(y=1+3t),(z=3-t) :}$
Scrivere l'equazione cartesiana del piano $ \pi $ per P parallelo al vettore $ v $ e alla retta $p $.
chiedo se gentilmente qualcuno puo' scrivermi il procedimento da attuare, sono nel panico piu' assoluto perche' davvero non riesco a sbrogliare questi problemi, che sono usciti nell'ultimo compito e quindi potrebbero riuscire tranquillamente
se puo' essere d'aiuto scrivo anche i valori;
per quel che riguarda il primo quesito:
-stabilire se i punti P (2,1,-1), P1 (2,4,-2) e p2 (2,-5,-3) sono allineati
il secondo:
-siano dati il punto P (2,1,-1), il vettore $ v = ((2), (-1), (0)) $ e la retta $ p $ di equazione parametrica:
$p = {(x=2),(y=1+3t),(z=3-t) :}$
Scrivere l'equazione cartesiana del piano $ \pi $ per P parallelo al vettore $ v $ e alla retta $p $.
Risposte
"Hunho":
per quel che riguarda il primo quesito:
-stabilire se i punti P (2,1,-1), P1 (2,4,-2) e p2 (2,-5,-3) sono allineati
Prendi le differenze
$(P_1 - P)$ e $(P_2 - P)$
e guarda se i due vettori sono proporzionali.
"Hunho":
il secondo:
-siano dati il punto P (2,1,-1), il vettore $ v = ((2), (-1), (0)) $ e la retta $ p $ di equazione parametrica:
$p = {(x=2),(y=1+3t),(z=3-t) :}$
Scrivere l'equazione cartesiana del piano $ \pi $ per P parallelo al vettore $ v $ e alla retta $p $.
Il piano avrà equazioni parametriche
$((x),(y),(z)) = ((2),(1),(-1)) + lambda_1 v + lambda_2 w$
dove $w$ è il vettore direttore della retta che ti è stata assegnata nell'esercizio.
per il primo quesito ho fatto le differenze (proporzionali tra di loro) ed il prodotto vettoriale tra di esse e' risultato 0; quindi significa che sono allineati?
per il secondo... perdonami francesco, non ho capito nulla di cosa dovrei fare per ottenere l'equazione cartesiana
per il secondo... perdonami francesco, non ho capito nulla di cosa dovrei fare per ottenere l'equazione cartesiana
"Hunho":
per il primo quesito ho fatto le differenze (proporzionali tra di loro) ed il prodotto vettoriale tra di esse e' risultato 0; quindi significa che sono allineati?
Non importa fare il prodotto vettoriale, basta vedere che sono proporzionali:
sono tre punti allineati.
Il prodotto vettoriale nullo non fa altro che confermare l'allineamento.
Per quanto riguarda il secondo problema io ti ho detto
come fare per ricavare le equazioni parametriche del piano.
Se vuoi lequazione cartesiana del piano avremo
$a (x - x_P) + b (y - y_P) + c (z - z_P) = 0$
dove il vettore $((a),(b),(c))$ è ortogonale
a $v$ e al vettore direttore $w$ della retta:
puoi fare il prodotto vettoriale tra $v$ e $w$ .
come fare per ricavare le equazioni parametriche del piano.
Se vuoi lequazione cartesiana del piano avremo
$a (x - x_P) + b (y - y_P) + c (z - z_P) = 0$
dove il vettore $((a),(b),(c))$ è ortogonale
a $v$ e al vettore direttore $w$ della retta:
puoi fare il prodotto vettoriale tra $v$ e $w$ .
francesco scusami, sono un po' confuso; l'equazione parametrica non e' solo della retta? puo' essere anche del piano?
poi non capisco una cosa, mi hai scritto la formula dell'equazione cartesiana del piano col vettore v ortogonale, ma a me serve parallelo; c'e' qualcosa che devo modificare nella formula per ottenerlo?
ti chiedo scusa se scrivo sciocchezze, neanche me ne rendo conto, sono davvero senza appigli in questa cosa e mi affido totalmente a voi per capire come fare
poi non capisco una cosa, mi hai scritto la formula dell'equazione cartesiana del piano col vettore v ortogonale, ma a me serve parallelo; c'e' qualcosa che devo modificare nella formula per ottenerlo?
ti chiedo scusa se scrivo sciocchezze, neanche me ne rendo conto, sono davvero senza appigli in questa cosa e mi affido totalmente a voi per capire come fare
Allora facciamo un po' di ordine.
- Le equazioni parametriche esistono sia per rette che per piani.
- Per scrivere l'equazione cartesiana di un piano serve un vettore
che sia perpendicolare sia a $v$ che a $w$.
Per trovare questo vettore puoi prendere $v \wedge w$
(il simbolo $\wedge$ designa il prodotto vettoriale).
- Le equazioni parametriche esistono sia per rette che per piani.
- Per scrivere l'equazione cartesiana di un piano serve un vettore
che sia perpendicolare sia a $v$ che a $w$.
Per trovare questo vettore puoi prendere $v \wedge w$
(il simbolo $\wedge$ designa il prodotto vettoriale).
ok, per determinare il vettore $ w $ della retta avendone l'equazione parametrica come devo fare?
una volta determinatolo, faccio prodotto vettoriale per il vettore $ v $ e da questo ottengo il vettore con cui scrivere l'equazione cartesiana del piano $ \pi $, se ho capito bene
ma se il procedimento e' questo perche' mi viene dato anche il punto P? non mi serve a nulla?
una volta determinatolo, faccio prodotto vettoriale per il vettore $ v $ e da questo ottengo il vettore con cui scrivere l'equazione cartesiana del piano $ \pi $, se ho capito bene
ma se il procedimento e' questo perche' mi viene dato anche il punto P? non mi serve a nulla?
Il punto $P$ serve, eccome!
Guarda l'equazione che ho scritto sopra!
$a(x - x_P) + b(y - y_P) + c (z - z_P) = 0$ .
Per trovare il vettore direttore della retta è molto semplice,
basta guardare il parametro $t$...
Guarda l'equazione che ho scritto sopra!
$a(x - x_P) + b(y - y_P) + c (z - z_P) = 0$ .
Per trovare il vettore direttore della retta è molto semplice,
basta guardare il parametro $t$...
francesco ti ringrazio e scusami ancora, oggi pomeriggio ripeto tutto il capitolo delle rette e cerco di capire quello che mi hai scritto, perche' brancolo ancora nel buio sull'equazione cartesiana e su come scriverla
Io ti consiglio di studiare bene questi argomenti.
Le cose che ti ho detto sono molto elementari, si trovano
su tutti i libri!
Le cose che ti ho detto sono molto elementari, si trovano
su tutti i libri!
francesco scusami e approfitto ancora di te, ma vorrei capire i passi da seguire;
1)il vettore direttore della retta e' $((0),(3),(-1))$?
2)quindi per trovare il vettore $((a),(b),(c))$ ortogonale a $v$ e a $w$ devo fare il prodotto vettoriale tra v e w? cioe' tra $((2),(-1),(0))$ e $((0),(3),(-1))$?
$((a),(b),(c))=((1),(-2),(6))$
3)fatto cio', la cartesiana sarebbe:
$1(x-x_p)-2(y-y_p)+6(z-z_p)=0 $
e' corretto o ho scritto un mare di sciocchezze?
1)il vettore direttore della retta e' $((0),(3),(-1))$?
2)quindi per trovare il vettore $((a),(b),(c))$ ortogonale a $v$ e a $w$ devo fare il prodotto vettoriale tra v e w? cioe' tra $((2),(-1),(0))$ e $((0),(3),(-1))$?
$((a),(b),(c))=((1),(-2),(6))$
3)fatto cio', la cartesiana sarebbe:
$1(x-x_p)-2(y-y_p)+6(z-z_p)=0 $
e' corretto o ho scritto un mare di sciocchezze?
Il vettore direttore della retta è ok.
Il prodotto vettoriale è $((1),(2),(6))$ :
credo di sapere l'errore che hai commesso,
guarda bene lo svolgimento del determinante
(quando sviluppi lungo la prima riga, devi cambiare segno al
secondo determinante).
Il prodotto vettoriale è $((1),(2),(6))$ :
credo di sapere l'errore che hai commesso,
guarda bene lo svolgimento del determinante
(quando sviluppi lungo la prima riga, devi cambiare segno al
secondo determinante).
Intervengo perché ho studiato anche io sul medesimo libro dell'OP.
Personalmente ritengo che la parte di geometria sia piuttosto stringata, ma, per restare in tema agli esercizi proposti:
1. nell'esercizio 8.13 (che è svolto!) si danno tre punti e si chiede di verificare che non siano allineati;
2. i piani vengono introdotti proprio tramite la rappresentazione parametrica (che l'OP sembra ignorare).
Da quanto ho visto finora e soprattutto confrontando la mia esperienza con quello che mi raccontano persone più "anziane", mi sembra che la tendenza sia quella di fare dei corsi per scimmie ammaestrate; d'altra parte i post di questo tipo dimostrano che, in effetti, i docenti non possono pretendere di più dalla media degli studenti, con grave danno per quelli più motivati.
Scusate lo sfogo.
Personalmente ritengo che la parte di geometria sia piuttosto stringata, ma, per restare in tema agli esercizi proposti:
1. nell'esercizio 8.13 (che è svolto!) si danno tre punti e si chiede di verificare che non siano allineati;
2. i piani vengono introdotti proprio tramite la rappresentazione parametrica (che l'OP sembra ignorare).
Da quanto ho visto finora e soprattutto confrontando la mia esperienza con quello che mi raccontano persone più "anziane", mi sembra che la tendenza sia quella di fare dei corsi per scimmie ammaestrate; d'altra parte i post di questo tipo dimostrano che, in effetti, i docenti non possono pretendere di più dalla media degli studenti, con grave danno per quelli più motivati.
Scusate lo sfogo.
"gac":
Intervengo perché ho studiato anche io sul medesimo libro dell'OP.
Personalmente ritengo che la parte di geometria sia piuttosto stringata, ma, per restare in tema agli esercizi proposti:
1. nell'esercizio 8.13 (che è svolto!) si danno tre punti e si chiede di verificare che non siano allineati;
2. i piani vengono introdotti proprio tramite la rappresentazione parametrica (che l'OP sembra ignorare).
Da quanto ho visto finora e soprattutto confrontando la mia esperienza con quello che mi raccontano persone più "anziane", mi sembra che la tendenza sia quella di fare dei corsi per scimmie ammaestrate; d'altra parte i post di questo tipo dimostrano che, in effetti, i docenti non possono pretendere di più dalla media degli studenti, con grave danno per quelli più motivati.
Scusate lo sfogo.
rispondo perche' devo ribadire che quel testo e' scritto coi piedi, ed in effetti e' comprensibile solo da scimmie ammaestrate... ad imparare a memoria.
per CAPIRE determinati argomenti ho cercato, trovato ed utilizzato altro materiale e ho superato l'esame.
ovviamente per riuscirci ho abbandonato quella sottospecie di libro e studiato solo da risorse trovate su internet (notevole per una scimmia ammaestrata, no?)
la motivazione degli studenti la si ottiene, oltre che durante il corso, non consigliando loro pessimi libri di testo bensi' fornendo risorse chiare e comprensibili utili alla reale compresione della materia.
comunque ognuno fa storia a se', complimenti vivissimi a te che sei riuscito a studiare da quell'ammasso di carta straccia.
Complimenti a te per aver superato l'esame.
Già che ci siamo, potresti fornirmi l'elenco dei testi che hai usato, si sa mai che possano venire utili?
Già che ci siamo, potresti fornirmi l'elenco dei testi che hai usato, si sa mai che possano venire utili?
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