Vettori
Salve, scrivo qui perché l'argomento mi sembra adatto a questa sezione ma mi scuso nel caso la sezione è sbagliata.
Il problema è questo
io ho tre vettori
u=6i-4j+2k
v=2i-6j+10k
z=4i+2j-8k
mi si chiede se tali vettori formano un triangolo rettangolo.
Ora per prima cosa ho verificato se due di loro formano un angolo rettangolo considerando che in tal caso il loro prodotto scalare è nullo, facendo i calcoli mi risulta quindi che u e z sono perpendicolari tra loro, quindi v a questo punto è l'ipotenusa.
Perché v non è uguale al risultante dei due vettori? Essendo un triangolo rettangolo non dovrebbe esserlo?
Con i calcoli mi esce che u+z=10i-2j-6k che non è uguale al vettore v. Cioè in realtà sono uguali in modulo avendo gli stessi coefficienti delle componenti ma "mischiati"...quindi immagino ci sia un legame tra loro ma non riesco a capire quale.
Mentre invece ho notato che v+z mi danno u, ma u è un cateto!!
Cosa dovrei dimostrare per affermare che formano un triangolo rettangolo? Non credo che il solo fatto che ci sia un angolo retto possa bastare.
Insomma potreste illuminarmi un pò??
Grazie
Il problema è questo
io ho tre vettori
u=6i-4j+2k
v=2i-6j+10k
z=4i+2j-8k
mi si chiede se tali vettori formano un triangolo rettangolo.
Ora per prima cosa ho verificato se due di loro formano un angolo rettangolo considerando che in tal caso il loro prodotto scalare è nullo, facendo i calcoli mi risulta quindi che u e z sono perpendicolari tra loro, quindi v a questo punto è l'ipotenusa.
Perché v non è uguale al risultante dei due vettori? Essendo un triangolo rettangolo non dovrebbe esserlo?
Con i calcoli mi esce che u+z=10i-2j-6k che non è uguale al vettore v. Cioè in realtà sono uguali in modulo avendo gli stessi coefficienti delle componenti ma "mischiati"...quindi immagino ci sia un legame tra loro ma non riesco a capire quale.
Mentre invece ho notato che v+z mi danno u, ma u è un cateto!!
Cosa dovrei dimostrare per affermare che formano un triangolo rettangolo? Non credo che il solo fatto che ci sia un angolo retto possa bastare.
Insomma potreste illuminarmi un pò??
Grazie
Risposte
In realtà se $\vec u, \vec v, \vec z$ sono i vertici, i vettori lato sono $\vec v-\vec z, \vec u-\vec z$ e $\vec v-\vec u$, i prodotti scalari dei quali mi pare che dovrebbero essere
\( (\vec v-\vec z)·(\vec u-\vec z)=224\)
\( (\vec v-\vec z)·(\vec v-\vec u)=168\)
\( (\vec v-\vec u)·(\vec u-\vec z)=84\)
e quindi direi che nessuno dei lati sia ortogonale all'altro...
Ciao!
EDIT: interpretazione scorretta, vedere sotto.
\( (\vec v-\vec z)·(\vec u-\vec z)=224\)
\( (\vec v-\vec z)·(\vec v-\vec u)=168\)
\( (\vec v-\vec u)·(\vec u-\vec z)=84\)
e quindi direi che nessuno dei lati sia ortogonale all'altro...
Ciao!
EDIT: interpretazione scorretta, vedere sotto.
Grazie per la risposta. Come mai indichi in quel modo i vettori lati??? non mi è chiaro. In realtà la risposta a questo problema è "si, formano un triangolo rettangolo". Ma non capisco perché...e ora che tu mi scrivi cosi lo capisco ancora meno!!!
Ciao. Credo che DavideGenova abbia pensato (e all'inizio l'ho pensato anch'io) che il triangolo in questione fosse quello avente i vertici nelle "punte" dei tre vettori, invece sono proprio i tre (o meglio vettori ad essi equipollenti) ad essere i lati del triangolo: $vec{u}, vec(z) $ _ sono ortogonali, [tex]\vec{v}[/tex] _ è la loro differenza: $vec(v)=vec(u)-vec(z)$ _...
anche io partivo dal presupposto che quelli fossero i vertici (del resto il testo non specifica questa cosa) per questo non mi è chiaro il fatto che v che dovrebbe essere l'ipotenusa non è uguale al risultante dei due cateti...ma come è possibile che sia la differenza? E' questo che non capisco..come può una ipotenusa essere uguale alla differenza dei vettori dei cateti?
Cioè alla fine per dire che formano un triangolo rettangolo devo dimostrare solo che due di loro formano un angolo retto??
Cioè alla fine per dire che formano un triangolo rettangolo devo dimostrare solo che due di loro formano un angolo retto??
Scusa, avevo frainteso di brutto! 
Quindi i tre vertici sono piuttosto
$\vec 0 = (0,0,0)$
$\vec u=6 \hat i-4 \hat j+2 \hat k$
$\vec v=2 \hat i- \hat 6j+10 \hat k$.
Ora, il vettore di norma e direzione (che è quello che ci interessa per misurare i lati e verificarne l'ortogonalità) identiche a quelle di un segmento è sempre dato dalla differenza tra le coordinate degli estremi del segmento, cioè i tre lati del nostro triangolo sono $\vec u - \vec 0 = \vec u$, $\vec v - \vec 0 = \vec v$ e $\vec u - \vec v = \vec z$. Se pensi al significato geometrico della regola del parallelogramma è immediato vedere (anche proprio immaginandosi mentalmente o disegnando le freccette dei vettori) che $\vec v + \vec z = \vec u$.
Quanto al carattere rettangolo del triangolo, si ha che $\vec u*\vec z= 6*4-4*2-2*8=0$, e puoi verificare che \( ||\vec u||^2+||\vec z||^2=140=||\vec v||^2 \).
Ciao e scusami di nuovo per averti fuorviato!
Quindi i tre vertici sono piuttosto$\vec 0 = (0,0,0)$
$\vec u=6 \hat i-4 \hat j+2 \hat k$
$\vec v=2 \hat i- \hat 6j+10 \hat k$.
Ora, il vettore di norma e direzione (che è quello che ci interessa per misurare i lati e verificarne l'ortogonalità) identiche a quelle di un segmento è sempre dato dalla differenza tra le coordinate degli estremi del segmento, cioè i tre lati del nostro triangolo sono $\vec u - \vec 0 = \vec u$, $\vec v - \vec 0 = \vec v$ e $\vec u - \vec v = \vec z$. Se pensi al significato geometrico della regola del parallelogramma è immediato vedere (anche proprio immaginandosi mentalmente o disegnando le freccette dei vettori) che $\vec v + \vec z = \vec u$.
Quanto al carattere rettangolo del triangolo, si ha che $\vec u*\vec z= 6*4-4*2-2*8=0$, e puoi verificare che \( ||\vec u||^2+||\vec z||^2=140=||\vec v||^2 \).
Ciao e scusami di nuovo per averti fuorviato!
ora è più chiaro grazie e figurati non devi scusarti sei già gentilissimo che rispondi!
Una sola cosa non capisco, se u e z sono ortogonali tra di loro i vertici non dovrebbero essere 0, u e z?? Perché dici che che uno è v?
Quindi se ho capito bene per dimostrare che è un triangolo rettangolo mi basta dimostrare che c'è un angolo retto e che è verificato il teorema di Pitagora.
Una sola cosa non capisco, se u e z sono ortogonali tra di loro i vertici non dovrebbero essere 0, u e z?? Perché dici che che uno è v?
Quindi se ho capito bene per dimostrare che è un triangolo rettangolo mi basta dimostrare che c'è un angolo retto e che è verificato il teorema di Pitagora.
"milkyway":
se u e z sono ortogonali tra di loro i vertici non dovrebbero essere 0, u e z??
Come ci ha fatto notare Palliit, bisogna verificare che, fatti coincidere gli estremi dei segmenti orientati rappresentati dai tre vettori, questi formino un triangolo, cosa che direi che succeda se e solo se uno dei tre vettori è differenza, somma o l'opposto della somma (somma con - davanti, in parole spicciole) degli altri vettori. Notando che $\vec z= \vec u-\vec v$, abbiamo proprio un triangolo con lati di lunghezza e direzione uguali alla norma e alla direzione rispettivamente di $\vec z$, $\vec u$ e $\vec v$. Interpretando i vettori come segmenti orientati (dove le componenti dei vettori sono la differenza delle coordinate degli estremi del segmento), si nota che traslando $\vec z$ all'estremo diverso dall'origine del segmento orientato $\vec u$, cioè nel punto che ha per coordinate le componenti di $\vec u$, e percorrendolo nel senso di percorrenza (il verso del vettore) arrivi nel punto $\vec v$, come da regola del parallelogramma.
Se i vertici fossero l'origine, $\vec u$ e $\vec z$, allora il terzo lato direi che dovrebbe piuttosto essere $±(2\vec u - \vec v)$.
"milkyway":
Quindi se ho capito bene per dimostrare che è un triangolo rettangolo mi basta dimostrare che c'è un angolo retto e che è verificato il teorema di Pitagora.
Basta anche solo dimostrare che c'è un angolo retto (e allora il teorema di Pitagora è necessariamente valido).
Ciao!
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