Vettori
Ciao qualcuno sa dimostrarmi perchè il prodotto vettoriale: a x (a x c) = -(||a||)^2 * c
a e c sono non nulli e ortogonali.
Grazie.
a e c sono non nulli e ortogonali.
Grazie.
Risposte
Vuoi dimostrare questo: $a*(a*c)= -||a||^2*c$??
Vorrei sapere perchè viene così, le @anonymous_be1147no per prodotto vettoriale. Il testo dice semplificare: a x (a x c)
puoi sfruttare la proprietà associativa del prodotto e scrivere $(a*a)*c$, poi prova a sfruttare qualche proprietà dei vettori
Se faccio il prodotto vettoriale tra un vettore e se stesso fa vettore nullo
Il prodotto vettoriale non è associativo!!!
Esistono però alcune identità che puoi cercare di utilizzare, come la formula di Lagrange $a xx (b xx c) = b (a * c) - c (a * b)$.
Se la applico al tuo esempio ottengo (usando l'ortogonalità tra $a$ e $c$):
$a xx (a xx c) = a (a * c) - c (a * a) = - ||a||^2 c$
Esistono però alcune identità che puoi cercare di utilizzare, come la formula di Lagrange $a xx (b xx c) = b (a * c) - c (a * b)$.
Se la applico al tuo esempio ottengo (usando l'ortogonalità tra $a$ e $c$):
$a xx (a xx c) = a (a * c) - c (a * a) = - ||a||^2 c$
Lagrange non l'abbiamo ancora visto penso che si debba ragionare sul significato geometrico di prodotto vettoriale. Poi non capisco perchè si prende la norma di a mentre di c no.
Se devi ragionare con il significato geometrico del prodotto vettoriale puoi farlo in questo modo:
Siano $\hat a$ e $\hat c$ i due versori ortonormali tali che $a = ||a|| \hat a$ e $c = ||c|| \hat c$. Allora
$a xx (a xx c) = ||a||^2 ||c|| \hat a xx (\hat a xx \hat c)$
$n = \hat a xx \hat c$ è un vettore normale al piano generato da $\hat a$ e $\hat c$ e quindi $\hat a xx n$ deve essere uguale a $\pm \hat c$. Ma $\hat c * (\hat a xx \hat n) = \hat n * (\hat c xx \hat a) = n * (-n) = -1$. Tornando quindi alla formula originale si ottiene:
$a xx (a xx c) = ||a||^2 ||c|| \hat a xx (\hat a xx \hat c) = ||a||^2 ||c|| (- \hat c) = - ||a||^2 c$
Siano $\hat a$ e $\hat c$ i due versori ortonormali tali che $a = ||a|| \hat a$ e $c = ||c|| \hat c$. Allora
$a xx (a xx c) = ||a||^2 ||c|| \hat a xx (\hat a xx \hat c)$
$n = \hat a xx \hat c$ è un vettore normale al piano generato da $\hat a$ e $\hat c$ e quindi $\hat a xx n$ deve essere uguale a $\pm \hat c$. Ma $\hat c * (\hat a xx \hat n) = \hat n * (\hat c xx \hat a) = n * (-n) = -1$. Tornando quindi alla formula originale si ottiene:
$a xx (a xx c) = ||a||^2 ||c|| \hat a xx (\hat a xx \hat c) = ||a||^2 ||c|| (- \hat c) = - ||a||^2 c$
@Riky: Quella di apatriarca è la dimostrazione rigorosa. Se vuoi avere una idea visiva di questa identità, prendi il libro di fisica e aprilo alla voce "moto circolare uniforme". Troverai sicuramente la velocità espressa come $\vec{v}=\vec{omega}times\vec{r}$ ($\vec{r}$ è il vettore posizione) e l'accelerazione come $\vec{a}=\vec{omega}times(\vec{omega}times\vec{r})=-omega^2\vec{r}$, cioè l'identità che ti serve. Altrettanto sicuramente ci sarà una figura che ti illustra il perché dell'ultima semplificazione alla luce della regola delle tre dita. L'accelerazione in questo caso è detta centripeta.
Grazie a tutti, la spiegazione in effetti per me è ancora un pò troppo complicata, questo esercizio è tra i primi del libro quindi penso che si richieda una semplice dimostrazione ma non riesco a ricavare tutte le componenti del risultato.
Una dimostrazione elementare è la seguente:
$a = (a_1, a_2, a_3)$
$c = (c_1, c_2, c_3)$
$a xx c = (a_1, a_2, a_3) xx (c_1, c_2, c_3) = (a_2 c_3 - a_3 c_2, a_3 c_1 - a_1 c_3, a_1 c_2 - a_2 c_1)$
$a xx (a xx c) = (a_1, a_2, a_3) xx (a_2 c_3 - a_3 c_2, a_3 c_1 - a_1 c_3, a_1 c_2 - a_2 c_1) = $
$ = (a_2 (a_1 c_2 - a_2 c_1) - a_3 (a_3 c_1 - a_1 c_3), a_3 (a_2 c_3 - a_3 c_2) - a_1 (a_1 c_2 - a_2 c_1). a_1 (a_3 c_1 - a_1 c_3) - a_2 (a_2 c_3 - a_3 c_2)) = $
$ = (a_1 a_2 c_2 - a_2^2 c_1 - a_3^2 c_1 + a_1 a_3 c_3, a_2 a_3 c_3 - a_3^2 c_2 - a_1^2 c_2 + a_2 a_1 c_1, a_3 a_1 c_1 - a_1^2 c_3 - a_2^2 c_3 + a_3 a_2 c_2)$
ma, siccome $a * c = 0$,
$a_2 c_2 + a_3 c_3 = - a_1 c_1$
$a_3 c_3 + a_1 c_1 = - a_2 c_2$
$a_1 c_1 + a_2 c_2 = - a_3 c_3$
si ottiene:
$a xx (a xx c) = (-||a||^2 c_1, - ||a||^2 c_2, - ||a||^2 c_3) = -||a||^2 c$
Non credo sia possibile una dimostrazione meno elementare di questa.
$a = (a_1, a_2, a_3)$
$c = (c_1, c_2, c_3)$
$a xx c = (a_1, a_2, a_3) xx (c_1, c_2, c_3) = (a_2 c_3 - a_3 c_2, a_3 c_1 - a_1 c_3, a_1 c_2 - a_2 c_1)$
$a xx (a xx c) = (a_1, a_2, a_3) xx (a_2 c_3 - a_3 c_2, a_3 c_1 - a_1 c_3, a_1 c_2 - a_2 c_1) = $
$ = (a_2 (a_1 c_2 - a_2 c_1) - a_3 (a_3 c_1 - a_1 c_3), a_3 (a_2 c_3 - a_3 c_2) - a_1 (a_1 c_2 - a_2 c_1). a_1 (a_3 c_1 - a_1 c_3) - a_2 (a_2 c_3 - a_3 c_2)) = $
$ = (a_1 a_2 c_2 - a_2^2 c_1 - a_3^2 c_1 + a_1 a_3 c_3, a_2 a_3 c_3 - a_3^2 c_2 - a_1^2 c_2 + a_2 a_1 c_1, a_3 a_1 c_1 - a_1^2 c_3 - a_2^2 c_3 + a_3 a_2 c_2)$
ma, siccome $a * c = 0$,
$a_2 c_2 + a_3 c_3 = - a_1 c_1$
$a_3 c_3 + a_1 c_1 = - a_2 c_2$
$a_1 c_1 + a_2 c_2 = - a_3 c_3$
si ottiene:
$a xx (a xx c) = (-||a||^2 c_1, - ||a||^2 c_2, - ||a||^2 c_3) = -||a||^2 c$
Non credo sia possibile una dimostrazione meno elementare di questa.
Molto chiaro, ma non ho capito questi ultimi passaggi:
ma, siccome a⋅c=0,
a2c2+a3c3=-a1c1
a3c3+a1c1=-a2c2
a1c1+a2c2=-a3c3
ma, siccome a⋅c=0,
a2c2+a3c3=-a1c1
a3c3+a1c1=-a2c2
a1c1+a2c2=-a3c3
$a*c = a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 = 0$ è il prodotto scalare che, per vettori tra loro ortogonali è uguale a zero. In tutte e tre le equazioni ho semplicemente preso un termine e l'ho portato dall'altra parte dell'uguale.
Grazie, provo a farlo da solo se poi ho problemi chiedo ancora chiarimenti.
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