Vettore spostamento per rotazione
Salve a tutti!
Stavo leggendo delle (ottime) dispense di meccanica delle strutture, che afferma
E fin qui tutto bene.
Successivamente, analizzando una trave a sezione circolare, afferma:
Ora, per quanto ne so io il vettore spostamento [tex]\vec u[/tex] è il vettore dato dalla sottrazione tra il vettore finale e quello iniziale; una rotazione (sul piano) di un angolo [tex]\theta=x_3\Theta[/tex] (attorno ad [tex]x_3[/tex]) di un punto [tex]\vec P_i(x_1,x_2,x_3)[/tex] è il punto
[tex]\vec P_f=\begin{pmatrix} x_1\cos\theta - x_2\sin\theta\\ x_1\sin\theta + x_2 \cos \theta,\\ x_3 \end{pmatrix}[/tex]
quindi il vettore spostamento è
[tex]\vec u = \vec P_f - \vec P_i = \begin{pmatrix} x_1(\cos\theta-1) - x_2\sin\theta\\ x_1\sin\theta + x_2 (\cos \theta-1),\\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
che, anche se si sostituisce [tex]\theta(x_3) = x_3\Theta[/tex] è completamente diversa da quanto scritto sulle dispense.
Dove erro??
Stavo leggendo delle (ottime) dispense di meccanica delle strutture, che afferma
si suppone che la generica sezione della trave, posta all’ascissa [tex]x_3[/tex], ruoti rispetto alla base di estremità della trave di un angolo [tex]\theta(x_3) = x_3\Theta[/tex], con [tex]\Theta[/tex] angolo unitario di rotazione indipendente da [tex]x_3[/tex]
E fin qui tutto bene.
Successivamente, analizzando una trave a sezione circolare, afferma:
Visto allora che la cinematica della trave consiste solamente nella rotazione rigida delle sezioni intorno all’asse della trave, nell’ipotesi di piccoli spostamenti, la forma del vettore spostamento è del tipo:
[tex]u_1=-x_2x_3\Theta[/tex]
[tex]u_2=x_1x_3\Theta[/tex]
[tex]u_3=0[/tex]
Ora, per quanto ne so io il vettore spostamento [tex]\vec u[/tex] è il vettore dato dalla sottrazione tra il vettore finale e quello iniziale; una rotazione (sul piano) di un angolo [tex]\theta=x_3\Theta[/tex] (attorno ad [tex]x_3[/tex]) di un punto [tex]\vec P_i(x_1,x_2,x_3)[/tex] è il punto
[tex]\vec P_f=\begin{pmatrix} x_1\cos\theta - x_2\sin\theta\\ x_1\sin\theta + x_2 \cos \theta,\\ x_3 \end{pmatrix}[/tex]
quindi il vettore spostamento è
[tex]\vec u = \vec P_f - \vec P_i = \begin{pmatrix} x_1(\cos\theta-1) - x_2\sin\theta\\ x_1\sin\theta + x_2 (\cos \theta-1),\\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
che, anche se si sostituisce [tex]\theta(x_3) = x_3\Theta[/tex] è completamente diversa da quanto scritto sulle dispense.
Dove erro??
Risposte
Piccolo dubbio (se è vero mi ammazzo perchè ci ho perso una giornata)... Mica c'entra Taylor??
Potresti inserire un link alla dispensa al quale fai riferimento? Non mi sono infatti chiare la tua notazione e la tua terminologia. Che cosa significa in particolare [tex]x_3 \Theta[/tex]? In particolare, che tipo di oggetto è [tex]\Theta[/tex]? È comunque possibile che abbia linearizzato il problema (prendendo lo sviluppo di Taylor per esempio) per il caso delle piccole rotazioni.
"apatriarca":
Potresti inserire un link alla dispensa al quale fai riferimento? Non mi sono infatti chiare la tua notazione e la tua terminologia. Che cosa significa in particolare [tex]x_3 \Theta[/tex]? In particolare, che tipo di oggetto è [tex]\Theta[/tex]? È comunque possibile che abbia linearizzato il problema (prendendo lo sviluppo di Taylor per esempio) per il caso delle piccole rotazioni.
La dispensa mi è stata passata, quindi non saprei reperirla in rete. In ogni caso [tex]\Theta[/tex] dovrebbe essere una costante, [tex]x_3[/tex] è la coordinata rispetto al terzo versore della terna ortonormale di riferimento, in pratica la coordinata z del punto
Non mi è forse del tutto chiaro il caso che viene studiato probabilmente. Ad una prima lettura avevo pensato di avere una trave allineata con l'asse $z$ e che viene fatto ruotare di un certo angolo indipendente da [tex]x_3[/tex]. [tex]x_3[/tex] che però compariva nella formula. Ma rileggendo, mi rendo conto che avevo probabilmente frainteso. Non è la rotazione della trave a non dipendere da [tex]x_3[/tex], ma solo la costante moltiplicativa [tex]\Theta[/tex]. Le varie sezioni della trave non si muovono quindi con la stessa velocità. Immagino abbia senso in questo modo. Credo che le formule ottenute per il vettore spostamento siano state ottenute per derivazione (Taylor insomma). Quel vettore ha infatti esattamente le proprietà che mi aspetterei dalla velocità.
Perfetto grazie 
Ne approfitto per un ulteriore chiarimento.
Ho trovato la dispensa, ed è a questo link: http://webuser.unicas.it/dweb/gestione/ ... php?id=204
Nella sezione 11.3, a pagina 140, si ha il seguente passaggio
[tex]\displaystyle \mathbf{e}^3\bullet\int_A \textbf{x} \times \tau_c\mathbf{t}\,\mathrm{d} A=\oint _a \tau_c b h(\zeta )\,\mathrm{d}\zeta[/tex]
dove
- [tex]\mathbf{x}[/tex] è il vettore di un punto generico appartenente all'area piena della sezione
- [tex]\mathbf{t}[/tex] è la tangente al bordo della sezione
Ora, riesco a capire che al posto del calcolo dell'area dei pieni si riduce al calcolo dell'integrale chiuso sul cammino [tex]\zeta[/tex] poichè
[tex]\displaystyle A=\oint_a bh(\zeta)\,\mathrm{d}\zeta[/tex]
ma non capisco come mai
[tex]\mathbf{e}^3\bullet (\mathbf{x}\times \mathbf{t}) = h(\zeta)[/tex]
cosa che deve essere vera per far "quadrare il tutto".
Ne approfitto per un ulteriore chiarimento.Ho trovato la dispensa, ed è a questo link: http://webuser.unicas.it/dweb/gestione/ ... php?id=204
Nella sezione 11.3, a pagina 140, si ha il seguente passaggio
[tex]\displaystyle \mathbf{e}^3\bullet\int_A \textbf{x} \times \tau_c\mathbf{t}\,\mathrm{d} A=\oint _a \tau_c b h(\zeta )\,\mathrm{d}\zeta[/tex]
dove
- [tex]\mathbf{x}[/tex] è il vettore di un punto generico appartenente all'area piena della sezione
- [tex]\mathbf{t}[/tex] è la tangente al bordo della sezione
Ora, riesco a capire che al posto del calcolo dell'area dei pieni si riduce al calcolo dell'integrale chiuso sul cammino [tex]\zeta[/tex] poichè
[tex]\displaystyle A=\oint_a bh(\zeta)\,\mathrm{d}\zeta[/tex]
ma non capisco come mai
[tex]\mathbf{e}^3\bullet (\mathbf{x}\times \mathbf{t}) = h(\zeta)[/tex]
cosa che deve essere vera per far "quadrare il tutto".
"enpires":
Piccolo dubbio (se è vero mi ammazzo perchè ci ho perso una giornata)... Mica c'entra Taylor??
Direi che, se [tex]$\Theta$[/tex] è piccolo, allora:
[tex]$\cos x_3\Theta \approx 1$[/tex] e [tex]$\sin x_3\Theta \approx x_3\Theta$[/tex],
da cui il tuo spostamento.
Quindi, sì: c'entra Taylor...
"enpires":
Ora, riesco a capire che al posto del calcolo dell'area dei pieni si riduce al calcolo dell'integrale chiuso sul cammino [tex]\zeta[/tex] poichè
[tex]\displaystyle A=\oint_a bh(\zeta)\,\mathrm{d}\zeta[/tex]
ma non capisco come mai
[tex]\mathbf{e}^3\bullet (\mathbf{x}\times \mathbf{t}) = h(\zeta)[/tex]
cosa che deve essere vera per far "quadrare il tutto".
Questa che dici è la cosidetta "prima formula di Bredt.
Comunque è semplice quel che chiedi:
il modulo del prodotto vettoriale è
uguale all'area del parallelogramma che abbia i due vettori come due lati adiacenti.
Per cui è il doppio dell'area del triangolo elementare, che integrata ti dà l'area della sezione. TUTTA: pieno e vuoto.
"orazioster":
Questa che dici è la cosidetta "prima formula di Bredt.
Comunque è semplice quel che chiedi:
il modulo del prodotto vettoriale è
uguale all'area del parallelogramma che abbia i due vettori come due lati adiacenti.
Per cui è il doppio dell'area del triangolo elementare, che integrata ti dà l'area della sezione. TUTTA: pieno e vuoto.
Perdona la mia testa dura se insisto, ma purtroppo ancora non ho capito
Il prodotto vettoriale è tra [tex]\mathbf{x}[/tex] e [tex]\mathbf{t}[/tex], che sono rispettivamente il punto preso in considerazione (appartenente al cammino [tex]\zeta[/tex]) e la tangente in quel punto...
Ora potrei capire che questo mi dia il doppio dell'area del triangolo elementare, ma di quello formato da [tex]\mathbf{x}[/tex] e [tex]\mathbf{t}[/tex], non da [tex]\mathbf{x}[/tex] e [tex]\mathrm{d}\zeta[/tex]!
Come per trovare
la lunghezza di una curva integri il modulo della tangente, così
quell'integrale ti dà, in modulo, il doppio dell'area
del dominio racchiuso dalla curva.
E' che il modulo elementare della tangente "coincide" con la lunghezza dell'arco elementare.
In effetti, la 'lunghezza' è proprio definita così -come il modulo della tangente.
Mi accorgo di essermi espresso in questo post in termini davvero 'poco matematici', ma
spero di essermi spiegato.
la lunghezza di una curva integri il modulo della tangente, così
quell'integrale ti dà, in modulo, il doppio dell'area
del dominio racchiuso dalla curva.
E' che il modulo elementare della tangente "coincide" con la lunghezza dell'arco elementare.
In effetti, la 'lunghezza' è proprio definita così -come il modulo della tangente.
Mi accorgo di essermi espresso in questo post in termini davvero 'poco matematici', ma
spero di essermi spiegato.
Cristallino Grazie mille!
Grazie mille!
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