Vettore ortogonale ad un altro vettore nello spazio

[Vito L]

Salve a tutti, vorrei sapere se è giusto il mio ragionamento.

Ho un vettore nello spazio $\v=(1,1,-3)$. Voglio trovare un vettore $u$ ortogonale a $v$.

So che un vettore $(x,y,z)$ è ortogonale ad un altro vettore $(x',y',z')$ se il prodotto scalare è $0$. Ovvero se $x x'+yy'+zz' = 0$.
Pongo quindi $u=(x',y',z')$. Dev'essere $x'+y'-3z'=0$.
Trovo un vettore di tale tipo trovando ad esempio gli $x',y',z'$ verificanti tale condizione.
Un vettore di questo tipo può essere quindi ad esempio $(1,-1,0)$?

Grazie mille
Vito L

[Quinzio]

Si

[weblan]

Quando dici ho un vettore $u=(1,1,-3)$ vuoi intendere le componenti del vettore $vec(OP)$ con punto di applicazione in $O-=(0,0,0)$ e secondo estremo nel punto di coordinate $P-=(1,1,-3)$. Se ci fai caso viene fuori l'equazione del piano passante per l'origine le cui componenti di un vettore ortogonale al piano sono proprio quelle di $vec(u)=(1,1,-3)$.

Quella soluzione da te esibita e tutte le soluzione del piano vanno bene.

[Vito L]

Perfetto,
Grazie mille a tutti e due.
A presto,
Vito L

[GSnake]

"Vito L":Salve a tutti, vorrei sapere se è giusto il mio ragionamento.

Ho un vettore nello spazio $\v=(1,1,-3)$. Voglio trovare un vettore $u$ ortogonale a $v$.

So che un vettore $(x,y,z)$ è ortogonale ad un altro vettore $(x',y',z')$ se il prodotto scalare è $0$. Ovvero se $x x'+yy'+zz' = 0$.
Pongo quindi $u=(x',y',z')$. Dev'essere $x'+y'-3z'=0$.
Trovo un vettore di tale tipo trovando ad esempio gli $x',y',z'$ verificanti tale condizione.
Un vettore di questo tipo può essere quindi ad esempio $(1,-1,0)$?

Grazie mille
Vito L

Scusami se mi intrometto, ma il vettore $(1,-1,0)$ lo hai "tirato a caso"?
Cioè hai posto ${(x+y-3z=0),(x=1),(y=-1),(3z=0):}$ ottenendo $OV = (1,-1,0)$
ma volendo posso dire che anche questo sistema è corretto: ${(x+y-3z=0),(x=2),(y=1),(3z=3):}$ ottenendo così $OV' = (2,1,1)$.
Quindi come posso procedere in caso questo venga chiesto in una prova ufficiale? Cioè, come "giustifico" il sistema?

[Camillo]

Hai 2 gradi di libertà quindi due li puoi fissare tu, ad es . $x,y$ e il terzo lo ottieni dall'equazione.

[GSnake]

"Camillo":Hai 2 gradi di libertà quindi due li puoi fissare tu, ad es . $x,y$ e il terzo lo ottieni dall'equazione.

Cioè la dimensione è due.
Un equazione in 3 incognite si traduci in... $n - r = 3 - 1 = 2$. Right?

[Camillo]

I vettori $u $ ortogonali al vettore $v $ stanno nel piano passante per l'origine e perpendicolare al vettore $ v $ ; un piano ha dimensione 2 .L'equazione del piano è appunto $x+y-3z=0 $.