Vettore generato dalla somma di due sottospazi
Buongiorno, ho un problema nel risolvere il seguente esercizio:
dati i sottospazi di $ \mathbb{R}^4 $
$ U1=Span(|( 3 ),( 11 ),( 5 ),( 2)|,|( 1 ),( 5 ),( 2 ),( 1)|)$ e $U2=Span(|( 1 ),( 3 ),( 2 ),( 2)|,|( 1 ),( 3 ),( 4 ),( 1)|) $ e, posto $ v=4e_1+8e_2+8e_3+3e_4 $,
trova $ u_1in U_1 $ e $ u_2in U_2 $ tali che $ v=u_1+u_2 $
In pratica ho effettuato l'unione dei due sottospazi e ho verificato poi la lineare indipendenza dei 4 vettori ed infatti la dimensione di U1+U2 è uguale a 4. Imposto poi un sistema per trovare dei valori $ alpha $ ed infine utilizzare gli stessi per verificare che la combinazione lineare riporti $ v $ .
Il problema è che i valori trovati con tale sistema non sono poi corretti e credo quindi di sbagliare ad impostare l'esercizio. Per inciso specifico che la soluzione viene indicata in questo modo: $ v=(2e_1+2e_2+2e_3)+(2e_1+6e_2+6e_3+3e_4) $
Grazie in anticipo per l'aiuto.
dati i sottospazi di $ \mathbb{R}^4 $
$ U1=Span(|( 3 ),( 11 ),( 5 ),( 2)|,|( 1 ),( 5 ),( 2 ),( 1)|)$ e $U2=Span(|( 1 ),( 3 ),( 2 ),( 2)|,|( 1 ),( 3 ),( 4 ),( 1)|) $ e, posto $ v=4e_1+8e_2+8e_3+3e_4 $,
trova $ u_1in U_1 $ e $ u_2in U_2 $ tali che $ v=u_1+u_2 $
In pratica ho effettuato l'unione dei due sottospazi e ho verificato poi la lineare indipendenza dei 4 vettori ed infatti la dimensione di U1+U2 è uguale a 4. Imposto poi un sistema per trovare dei valori $ alpha $ ed infine utilizzare gli stessi per verificare che la combinazione lineare riporti $ v $ .
Il problema è che i valori trovati con tale sistema non sono poi corretti e credo quindi di sbagliare ad impostare l'esercizio. Per inciso specifico che la soluzione viene indicata in questo modo: $ v=(2e_1+2e_2+2e_3)+(2e_1+6e_2+6e_3+3e_4) $
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
"sir.robert":
In pratica ho effettuato l'unione dei due sottospazi e ho verificato poi la lineare indipendenza dei 4 vettori ed infatti la dimensione di U1+U2 è uguale a 4. Imposto poi un sistema per trovare dei valori $ alpha $ ed infine utilizzare gli stessi per verificare che la combinazione lineare riporti $ v $ .
Se non hai commesso errori, avrai trovato il vettore dei coefficienti $ ( ( 2 ),( -4 ),( 1 ),( 1 ) ) $
Quindi abbiamo:
$ 2( ( 3 ),( 11 ),( 5 ),( 2 ) ) -4 ( ( 1 ),( 5 ),( 2 ),( 1 ) )=( ( 2 ),( 2 ),( 2 ),( 0 ) )=u_1 $
e
$ 1( ( 1 ),( 3 ),( 2 ),( 2 ) ) +1 ( ( 1 ),( 3 ),( 4 ),( 1 ) )=( ( 2 ),( 6 ),( 6 ),( 3 ) )=u_2 $
Scritti con la notazione ingegneristica rispetto alla base canonica sono la soluzione che hai riportato.
Innanzitutto grazie mille per la risposta. Quindi se ho capito bene la scelta di impostare un sistema lineare con i due sottospazi è corretta? Provo a rivedere i calcoli un'altra volta.
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