Vettore direzionale di una retta nello spazio
Buongiorno!
Ho un esercizio di questo tipo:
date due rette $r$ ed $s$ si determini la posizione reciproca di queste.
$r={(x-y+z-1=0),(2y-z=0):}$
$s={(x=1-t),(y=2t-1),(z=-1+3t):}$
ho portato s in forma canonica, esprimendola come intersezione dei due piani ${(2x+y-1=0),(3y-2z+1=0):}$
e ho considerato la matrice costituito dai coefficienti dei 4 piani ottenuti, ossia la matrice
$((1,-1,1,-1),(0,2,-1,0),(2,1,0,-1),(0,3,-2,1))$
e calcolato il determinante che risulta diverso da zero ho dedotto che le due rette non sono sghembe, ma sono complanari.
a questo punto devo capire se sono parallele o incidenti.
per capire se sono parallele dovrei calcolarmi i vettori direttori delle due rette.
chiamiamo $u=(l,m,n)$ il vettore direttore di $r$
e $u'=(l',m',n')$ il vettore direttore di $s$.
il vettore direttore di $s$ lo ricavo facilmente dall'equazione della mia retta data in forma parametrica, e quindi avrò $u'=(-1,2,3)$
ora, per potermi calcolare il vettore direttore dell'altra retta devo cercare di parametrizzare $r$?
o c'è un modo più semplice?
inoltre, posto di aver trovato il vettore direttore di $r$, potrei concludere che le due rette sono parallele se $u'=\lambdau$?
altrimenti potrei prima controllare se le due rette sono incidenti, magari cercando il punto comunque ad entrambe, impostando il sistema
$rnns={(x-y+z-1=0),(2y-z=0),(2x+y-1=0),(3y-2z+1=0):}$
grazie a tutti.
Ho un esercizio di questo tipo:
date due rette $r$ ed $s$ si determini la posizione reciproca di queste.
$r={(x-y+z-1=0),(2y-z=0):}$
$s={(x=1-t),(y=2t-1),(z=-1+3t):}$
ho portato s in forma canonica, esprimendola come intersezione dei due piani ${(2x+y-1=0),(3y-2z+1=0):}$
e ho considerato la matrice costituito dai coefficienti dei 4 piani ottenuti, ossia la matrice
$((1,-1,1,-1),(0,2,-1,0),(2,1,0,-1),(0,3,-2,1))$
e calcolato il determinante che risulta diverso da zero ho dedotto che le due rette non sono sghembe, ma sono complanari.
a questo punto devo capire se sono parallele o incidenti.
per capire se sono parallele dovrei calcolarmi i vettori direttori delle due rette.
chiamiamo $u=(l,m,n)$ il vettore direttore di $r$
e $u'=(l',m',n')$ il vettore direttore di $s$.
il vettore direttore di $s$ lo ricavo facilmente dall'equazione della mia retta data in forma parametrica, e quindi avrò $u'=(-1,2,3)$
ora, per potermi calcolare il vettore direttore dell'altra retta devo cercare di parametrizzare $r$?
o c'è un modo più semplice?
inoltre, posto di aver trovato il vettore direttore di $r$, potrei concludere che le due rette sono parallele se $u'=\lambdau$?
altrimenti potrei prima controllare se le due rette sono incidenti, magari cercando il punto comunque ad entrambe, impostando il sistema
$rnns={(x-y+z-1=0),(2y-z=0),(2x+y-1=0),(3y-2z+1=0):}$
grazie a tutti.
Risposte
calcolati il vettore direzione della prima retta, poi il vettore direzione della seconda.
Se sono proporzionali le due rette sono parallele, altrimenti non lo sono...
Se sono proporzionali le due rette sono parallele, altrimenti non lo sono...
"adedadaf":
ora, per potermi calcolare il vettore direttore dell'altra retta devo cercare di parametrizzare $r$?
Si.
"adedadaf":
o c'è un modo più semplice?
Si, c'è un altro modo, vedi qui : http://www.matematicamente.it/forum/vettori-direttori-t32879.html
"adedadaf":
inoltre, posto di aver trovato il vettore direttore di $r$, potrei concludere che le due rette sono parallele se $u'=\lambdau$?
Si.
quindi un metodo sarebbe questo:
calcolo il vettore direttore di $s$ che è $u'(-1,2,3)$
considero poi la retta $r$. dal sistema trovo subito i vettori
$v=i-j+k$ e $w=2j-k$
e avrò
$v^^w=|(i,j,k),(1,-1,1),(0,2,-1)|$
e ottengo che il vettore direttore $u=(-1,1,2)$
per cui le due rette non sono parallele in quanto i vettori direttori non sono proporzionali.
giusto?
invece parametrizzando la retta....ho ancora molta difficoltà a capire come passare dalla cartesiana alla parametrica..
calcolo il vettore direttore di $s$ che è $u'(-1,2,3)$
considero poi la retta $r$. dal sistema trovo subito i vettori
$v=i-j+k$ e $w=2j-k$
e avrò
$v^^w=|(i,j,k),(1,-1,1),(0,2,-1)|$
e ottengo che il vettore direttore $u=(-1,1,2)$
per cui le due rette non sono parallele in quanto i vettori direttori non sono proporzionali.
giusto?
invece parametrizzando la retta....ho ancora molta difficoltà a capire come passare dalla cartesiana alla parametrica..
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