Vettore direttore retta
Se ho questa retta:
[tex]x=2y-z=0[/tex]
Diventa in forma parametrica:
[tex]\left\{\begin{matrix}
x=t\\
t=2y-z\end{matrix}\right.[/tex]
Per ricavare un vettore direttore ricavo y e z e ottengo:
[tex]z=2y-t[/tex]
[tex]y=\frac{t+z}{2}[/tex]
Il vettore direttore allora sarà [tex]v(1,1,-1)[/tex] o no?
Se è corretto, come mai per y prendo come coefficiente di t [tex]1[/tex] e non [tex]\frac{1}{2}[/tex] ?
[tex]x=2y-z=0[/tex]
Diventa in forma parametrica:
[tex]\left\{\begin{matrix}
x=t\\
t=2y-z\end{matrix}\right.[/tex]
Per ricavare un vettore direttore ricavo y e z e ottengo:
[tex]z=2y-t[/tex]
[tex]y=\frac{t+z}{2}[/tex]
Il vettore direttore allora sarà [tex]v(1,1,-1)[/tex] o no?
Se è corretto, come mai per y prendo come coefficiente di t [tex]1[/tex] e non [tex]\frac{1}{2}[/tex] ?
Risposte
Io come equazioni parametriche mi trovo:
$ { ( x=0 ),( y=t ),( z=2t ):} $
e quello li che hai trovato non è sicuramente il vettore dei numeri direttori della retta....basta che guardi nel sistema, hai una condizione di $x=0$ e a te esce un vettore avente prima coordinata $x=1$
$ { ( x=0 ),( y=t ),( z=2t ):} $
e quello li che hai trovato non è sicuramente il vettore dei numeri direttori della retta....basta che guardi nel sistema, hai una condizione di $x=0$ e a te esce un vettore avente prima coordinata $x=1$
Mi sto innervosendo troppo 
ho sempre sbagliato, ma non si ricava ponendo una variabile come parametro t?
Io avevo posto x=t......mi faresti i passaggi su come hai ottenuto quella equazione parametrica?
Ho capito:
Ma non posso porre x=t?
Ho capito mi risulta se pongo y=t ma non dovrebbe risultarmi anche se ponessi x=t?
ho sempre sbagliato, ma non si ricava ponendo una variabile come parametro t?Io avevo posto x=t......mi faresti i passaggi su come hai ottenuto quella equazione parametrica?
Ho capito:
Ma non posso porre x=t?
Ho capito mi risulta se pongo y=t ma non dovrebbe risultarmi anche se ponessi x=t?
Scusami ma prova ad usare un pochino di logica, se nell'equazione cartesiana sai che $x=0$ come puoi mettere $x=t$?
Diciamo che in matematica non sono mai stato bravo, [tex]x=0[/tex] è palese ma anche che [tex]2y-z=0[/tex] quindi non mi diceva niente....insomma se io ho un' equazione del tipo:
[tex]y=2x-z=0[/tex]
Qui basta non porre y=t perchè non si può ma posso scegliere o x o z giusto?
[tex]y=2x-z=0[/tex]
Qui basta non porre y=t perchè non si può ma posso scegliere o x o z giusto?
Si, diciamo che se un parametro è assegnato, come nel tuo caso $x=0$ oppure più in generale $x=k$ non ha senso porre quella variabile uguale ad un parametro arbitrario. Ma se vuoi un mio parere ha anche poco senso farlo così l'esercizio...così intendo a memoria, ricordandoti i passaggi, senza un minimo di ragionamento dietro.
No ma che parere, è la pure verità 
Se non si capiscono le cose.....si hanno più difficoltà, ero io che avevo due fette di salame davanti gli occhi, si capiva semplicemente perchè se si ha [tex]x=0[/tex] non ci sono dubbi, non si può imporre nulla, se si ha [tex]y-z=0[/tex] allora lì ha senso porre un parametro.
Ti ringrazio davvero tanto.
Ma se io avessi, e con questo chiudo:
[tex]x=y-2z=0[/tex] che è simile
Allo stesso modo potrei porre z come parametro e risolverei senza problemi, se invece ponessi y avrei:
[tex]x=0[/tex]
[tex]y=t[/tex]
[tex]z=\frac{t}{2}[/tex] ?
E quindi vettore [tex](0,1,\frac{1}{2})[/tex] ?
Sarebbe sempre corretto?
Grazie [tex]\infty[/tex]te
Se non si capiscono le cose.....si hanno più difficoltà, ero io che avevo due fette di salame davanti gli occhi, si capiva semplicemente perchè se si ha [tex]x=0[/tex] non ci sono dubbi, non si può imporre nulla, se si ha [tex]y-z=0[/tex] allora lì ha senso porre un parametro.
Ti ringrazio davvero tanto.
Ma se io avessi, e con questo chiudo:
[tex]x=y-2z=0[/tex] che è simile
Allo stesso modo potrei porre z come parametro e risolverei senza problemi, se invece ponessi y avrei:
[tex]x=0[/tex]
[tex]y=t[/tex]
[tex]z=\frac{t}{2}[/tex] ?
E quindi vettore [tex](0,1,\frac{1}{2})[/tex] ?
Sarebbe sempre corretto?
Grazie [tex]\infty[/tex]te
Si, il trucco sta nell'imporre alle variabili libere i parametri per trovare le equazioni parametriche.
Ciò che però voglio farti capire io è un'altra cosa. Se impari a fare l'esercizio in questo modo abitui il tuo cervello a non ragionare sulle tecniche che sta usando e sopratutto sul perchè si fanno determinati passaggi anzichè altri. Ora cercherò di spiegarti in modo generale come si fa a passare dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche, perchè se poi dovrai fare degli esercizi riguardo sottospazi più grandi, come ad esempio un piano ecc... troverai difficoltà.
Immagino tu stia studiando per l'esame di base di geometria, quindi stiamo negli usuali spazi $E^2, E^3$, e i vettori quindi hanno punto di applicazione l'origine degli assi. Il problema di passare dalle eq. ordinarie a quella parametrica è semplice e, supponendo di avere una retta, come nel tuo caso in forma cartesiana, cioè:
$r:{(x=0) , (2y-z=0):}$
a questo punto la prima cosa da fare è capire quali sono i numeri direttori della retta, cioè la sua giacitura, basta risolvere il sistema lineare omogeneo associato, che in questo caso coincide con questo che abbiamo qui. Risolvendolo avremmo che $g_r=n_d=(0,1,2)$ ($g_r$ sta per giacitura), ora se voglio le equazioni parametriche, la prima cosa che noto è che essendo un spazio di dimensione 1, allora avrò un solo parametro da inserire, poi per ottenere le equazioni, suppongo di prendere un punto generico $P=(x,y,z)$, e imponiamo che $P in r$.
Questa condizione è vera soltanto se $\bar(OP) in g_r <=>(x,y,z) in g_r <=> EEt in RR : (x,y,z)=t(0,1,2)$ (1)
ovvero che c'è lineare dipendenza tra il vettore OP e il vettore che determina la direzione della retta, allora da (1) posso dire che
$r:{(x=0) , (y=t) , (z=2t):}$
Ciò che però voglio farti capire io è un'altra cosa. Se impari a fare l'esercizio in questo modo abitui il tuo cervello a non ragionare sulle tecniche che sta usando e sopratutto sul perchè si fanno determinati passaggi anzichè altri. Ora cercherò di spiegarti in modo generale come si fa a passare dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche, perchè se poi dovrai fare degli esercizi riguardo sottospazi più grandi, come ad esempio un piano ecc... troverai difficoltà.
Immagino tu stia studiando per l'esame di base di geometria, quindi stiamo negli usuali spazi $E^2, E^3$, e i vettori quindi hanno punto di applicazione l'origine degli assi. Il problema di passare dalle eq. ordinarie a quella parametrica è semplice e, supponendo di avere una retta, come nel tuo caso in forma cartesiana, cioè:
$r:{(x=0) , (2y-z=0):}$
a questo punto la prima cosa da fare è capire quali sono i numeri direttori della retta, cioè la sua giacitura, basta risolvere il sistema lineare omogeneo associato, che in questo caso coincide con questo che abbiamo qui. Risolvendolo avremmo che $g_r=n_d=(0,1,2)$ ($g_r$ sta per giacitura), ora se voglio le equazioni parametriche, la prima cosa che noto è che essendo un spazio di dimensione 1, allora avrò un solo parametro da inserire, poi per ottenere le equazioni, suppongo di prendere un punto generico $P=(x,y,z)$, e imponiamo che $P in r$.
Questa condizione è vera soltanto se $\bar(OP) in g_r <=>(x,y,z) in g_r <=> EEt in RR : (x,y,z)=t(0,1,2)$ (1)
ovvero che c'è lineare dipendenza tra il vettore OP e il vettore che determina la direzione della retta, allora da (1) posso dire che
$r:{(x=0) , (y=t) , (z=2t):}$
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