Vettore decomposto come somma di vettori!

[cowgirl_from_hell]

Salve! Vi sarei grata se poteste aiutarmi con questo esercizio:

Sono dati, in R4 , i sottospazi vettoriali:
U = $(x, y, z, t) in R^4: x + 2y = 2t = 0$
V = $(1; 2; 0; 1) , (2; 4;-1; 1) ; (0; 0; 1; 1) ; (1; 2; 4; 5) ; (1;-1; 0; 5)$

(a) Determinare la dimensione e una base di U e V ;
(b) Determinare la dimensione e una base di .U \ V e U + V: U + V è una somma diretta?
(c) Il vettore $v = (1; 2; 3; 4)$ appartiene a $U + V$ ? In caso affermativo decomporlo nella
somma di un vettore di U e di un vettore di V , in tutti i modi possibili (a meno di un
cambiamento di variabile libera).

Ho svolto tutto ma non sono sicura di aver compreso l'ultimo punto: cosa si intende esattamente per "decomporlo nella somma di un vettore di U ed un vettore di V in tutti i modi possibili"?
Io ho provato a definire due vettori $h$ e $k$ come combinazioni lineari dei rispettivi sottospazi, per poi porre $v = h+k$ ed ottenere un'eq. del tipo $v= a(...)+b(...)+c(...)+d(...)+e(...)$ (le dimensioni di H e K sono, rispettivamente, 2 e 3)..

dunque $(1,2,3,4) = (2a + d + e; a + 2d - e; b + c + 4d; c + 5d + 5e)$

ho risolto il sistema per trovare i coefficienti (il sistema ha $infty^1$ soluzioni).. a questo punto cosa devo fare? sostituisco semplicemente i coefficieni trovati nell'eq originaria $v = h + k$?

grazie in anticipo a chiunque risponderà!

[orazioster]

In generale, per
trovare la componente di un vettore che appartenga ad un sottospazio, devi
propiettare il vettore su una base ortogonale del sottospazio.
Ovvero: prodotto scalare con i versori (i vettori normalizzati) di quella base.
E sommi le proiezioni.

[cirasa]

A parte i conti che non ho controllato, secondo me, la risoluzione di "cowgirl_from_hell" è giusta...