Vettore appartenente alla somma di due sottospazi?
Salve, non riesco a risolvere gli esercizi in cui dati due sottospazi vettoriali di $RR^n$ espressi tramite copertura lineare o espressioni, verificare che un vettore appartenga al loro spazio somma, ad esempio:
"Dati i due sottospazi vettoriali $U{(x,y,z,t)inRR^4: x-t=0, y+z+t=0}$ e $W=L (-1,1,0,0) , (-1,0,1,1) $, stabilire quali dei seguenti vettori appartengono a $U+W$:
a.(-2,1,1,1)
b.(2,-1,1,2)
c.(3,-1,-2,3)
"
Il massimo che riesco a fare è verificare se ciascuno di questi vettori è somma di un vettore di U (dopo averlo espresso tramite copertura lineare) e uno di W, ma per questo esercizio in particolare il metodo non mi riesce.
Grazie in anticipo
"Dati i due sottospazi vettoriali $U{(x,y,z,t)inRR^4: x-t=0, y+z+t=0}$ e $W=L (-1,1,0,0) , (-1,0,1,1) $, stabilire quali dei seguenti vettori appartengono a $U+W$:
a.(-2,1,1,1)
b.(2,-1,1,2)
c.(3,-1,-2,3)
"
Il massimo che riesco a fare è verificare se ciascuno di questi vettori è somma di un vettore di U (dopo averlo espresso tramite copertura lineare) e uno di W, ma per questo esercizio in particolare il metodo non mi riesce.
Grazie in anticipo
Risposte
innanzitutto sono sottospazi di $RR^4$ e poi ti ricordo la dicitura di spazio somma. Un vettore vi appartiene, per definizione, se si può scrivere come somma di un vettore in $U$ e di un vettore in $W$. Abbiamo cioè $v in U+WhArrv=u+w$ ove ovviamente $uinU$ e $winW$.
Perciò basta provare che un vettore tra quelli considerati si possa scrivere come combinazione lineare dei vettori di base.
ti faccio notare che $winW$ appartiene anche a $U+W$ in quanto $w=0_(u)+w$
Perciò basta provare che un vettore tra quelli considerati si possa scrivere come combinazione lineare dei vettori di base.
ti faccio notare che $winW$ appartiene anche a $U+W$ in quanto $w=0_(u)+w$
Il problema è che non riesco a passare dalla teoria alla pratica, cioé non mi viene la formula per cui v dev'essere somma di $uinU+winW$ mi puoi far vedere usando l'esempio di cui sopra?
Grazie in anticipo
N.B.:all'inizio ho scritto $RR^n$ in quanto questo esercizio non lo riesco a risolvere per nessuno di questi spazi vettoriali, tra cui quello dell'esempio
Grazie in anticipo
N.B.:all'inizio ho scritto $RR^n$ in quanto questo esercizio non lo riesco a risolvere per nessuno di questi spazi vettoriali, tra cui quello dell'esempio
Innanzitutto si vede che $(1,-1,0,1),(0,-1,1,0)$ è una base di $U$
ora fai l'unione delle basi ed ottieni $(1,-1,0,1),(0,-1,1,0),(-1,1,0,0),(-1,0,1,1)$. Verifichiamo che siano linearmente indipendenti.
Essi sono linearmente dipendenti (e se non ho sbagliato i calcoli) una base di $U+W=(1,-1,0,1),(0,-1,1,0),(-1,1,0,0)$
a questo punto verifica che i tuoi vettori si possano scrivere come combinazione lineare della base
ad es.
$(-2,1,1,1)=(1,-1,0,1)+(0,-1,1,0)+3(-1,1,0,0)$ quindi vi appartiene
continua tu ora...
ora fai l'unione delle basi ed ottieni $(1,-1,0,1),(0,-1,1,0),(-1,1,0,0),(-1,0,1,1)$. Verifichiamo che siano linearmente indipendenti.
Essi sono linearmente dipendenti (e se non ho sbagliato i calcoli) una base di $U+W=(1,-1,0,1),(0,-1,1,0),(-1,1,0,0)$
a questo punto verifica che i tuoi vettori si possano scrivere come combinazione lineare della base
ad es.
$(-2,1,1,1)=(1,-1,0,1)+(0,-1,1,0)+3(-1,1,0,0)$ quindi vi appartiene
continua tu ora...
Grazie per la disponibilità. 
Prego 
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