Vettore
Un vettore non è un segmento orientato dello spazio ?
Perchè allora v: $\vec AvecB$ invece di v=$\vec AvecB$, in altre parole perchè si sceglie di usare sempre un rappresentante invece del vettore stesso?
Buona riflessione.
Perchè allora v: $\vec AvecB$ invece di v=$\vec AvecB$, in altre parole perchè si sceglie di usare sempre un rappresentante invece del vettore stesso?
Buona riflessione.
Risposte
Eh?
"DR1":
Un vettore non è un segmento orientato dello spazio ?
Un vettore (attenzione, se intendiamo un vettore geometrico e non un qualunque vettore che soddisfi gli assiomi di uno spazio vettoriale, che, caso mai non sapessi che cosa si intende con ciò, lo scoprirai molto presto nel tuo studio) non è un segmento orientato, ma una classe di equipollenza. Un segmento ha l'estremo iniziale nel punto di applicazione del vettore, mentre le coordinate del vettore che lo rappresenta sono la differenza tra le coordinate del punto finale e di quello iniziale. Visualmente puoi immaginare il segmento orientato traslato con il punto iniziale nell'origine: le coordinate del vettore sono le coordinate del punto finale del segmento orientato.
Ma una classe di equivalenza non è un sottinsieme in cui ci sono raggruppati segmenti equipollenti(cioè equivalenti)ad un dato segmento orientato(cioè un vettore)?
Direi piuttosto che sia l'insieme di tutti e soli i segmenti orientati equipollenti tra loro, che hanno come rappresentante una n-upla ordinata (la differenza tra le coordinate finali e iniziali del segmento), cioè un vettore geometrico. Se prendi il segmento orientato, che è lo stesso di dire il vettore applicato (non "vettore" e basta, che significherebbe in questo contesto vettore geometrico, cioè classe di equivalenza di segmenti orientati), con punto iniziale nell'origine \(\mathbf{0}=(0,...,0)\), le coordinate del suo punto finale sono proprio quelle del vettore che rappresenta quella classe.
Se dico stupidaggini spero di essere fucilato...
Se dico stupidaggini spero di essere fucilato...
BLAM!
Bisogna anzitutto capire la domanda che e' stata posta, cosa che ancora io non riesco a fare... Poi tu cerchi di descrivere i "vettori di uno spazio affine". Questo non e' formalmente molto corretto: stai semplicemente parlando dello spazio vettoriale sottostante allo spazio affine che descrivi. Ma lo spazio affine e' fatto dai punti, non vi sono vettori (quanto piuttosto una azione strettamente transitiva del gruppo abeliano di uno spazio vettoriale, che porta punti in punti mediante le "traslazioni" che solitamente sono note come "vettori applicati", ma questo e' un altro discorso, formalmente parlando).
Bisogna anzitutto capire la domanda che e' stata posta, cosa che ancora io non riesco a fare... Poi tu cerchi di descrivere i "vettori di uno spazio affine". Questo non e' formalmente molto corretto: stai semplicemente parlando dello spazio vettoriale sottostante allo spazio affine che descrivi. Ma lo spazio affine e' fatto dai punti, non vi sono vettori (quanto piuttosto una azione strettamente transitiva del gruppo abeliano di uno spazio vettoriale, che porta punti in punti mediante le "traslazioni" che solitamente sono note come "vettori applicati", ma questo e' un altro discorso, formalmente parlando).
La domanda per chi non l'ha capita è la seguente:
c'è differenza tra un vettore v e un segmento orientato?
c'è differenza tra un vettore v e un segmento orientato?
"DR1":
La domanda per chi non l'ha capita è la seguente:
c'è differenza tra un vettore v e un segmento orientato?
L'unica differenza può essere che il segmento orientato è necessariamente vincolato dai punti $A$ e $B$ (per esempio).
Il vettore, invece, può essere libero.
Se il vettore ha punto di applicazione in $A$ e componenti tali che il vettore termini in $B$, allora direi di no, non ci sono differenze.
"Demostene92":
L'unica differenza può essere che il segmento orientato è necessariamente vincolato dai punti $A$ e $B$ (per esempio).
Il vettore, invece, può essere libero.
Se il vettore ha punto di applicazione in $A$ e componenti tali che il vettore termini in $B$, allora direi di no, non ci sono differenze.
Grazie della risposta!
Quindi se il vettore è applicato non ci sono differenze, allora è un segmento orientato e non(cito)
" DavideGenova":
Direi piuttosto che sia l'insieme di tutti e soli i segmenti orientati equipollenti tra loro
giusto?
Chi non la pensa cosi?
P.S. se ciò è vero perchè nelle dimostrazioni , esercizi, ecc.. si usano i suoi rappresentanti e non dirattamente il vettore applicato?
"killing_buddha":
Bisogna anzitutto capire la domanda che e' stata posta, cosa che ancora io non riesco a fare... Poi tu cerchi di descrivere i "vettori di uno spazio affine".
Grazie per la precisazione, e grazie anche a Demostene92 per il contributo!!! Spero di non aver frainteso, ma quello che cercavo impropriamente di dire è che, come dice il Sernesi, "un vettore geometrico (o semplicemente vettore [non nel senso di generici vettori di K-spazi vettoriali, naturalmente]) è, per definizione, una classe di equipollenza di vettori applicati, cioè è l'insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un segmento orientato assegnato" e questo segmento orientato assegnato mi sembrerebbe che si possa identificare, così come con qualunque altro arbitrario segmento appartenente alla classe \(\mathbf{v}\), con il segmento di punto iniziale \(\mathbf{0}\) e punto finale che ha le coordinate di \(\mathbf{v}\): o no?
Grazie di cuore ancora a tutti quelli che hanno partecipato e che parteciperanno a questa interessante discussione!
Ciao ragazzi, anche a me interessa chiarirmi un po' meglio il concetto di vettore.
Vi illustro un esercizio proposto a bambini della scuola elementare, ditemi cosa ne pensate.
Allora abbiamo un foglio a quadretti in cui sono disegnate delle immagini stilizzate, tipo fiori, barche a vela... sul foglio poi è disegnato un vettore e si chiede di "spostare", "traslare" i disegni di quanto è indicato dalla freccia. In questo caso il punto di applicazione del vettore dipende dall'oggetto che subisce la trasformazione, ma la trasformazione è la stessa.
Vi illustro un esercizio proposto a bambini della scuola elementare, ditemi cosa ne pensate.
Allora abbiamo un foglio a quadretti in cui sono disegnate delle immagini stilizzate, tipo fiori, barche a vela... sul foglio poi è disegnato un vettore e si chiede di "spostare", "traslare" i disegni di quanto è indicato dalla freccia. In questo caso il punto di applicazione del vettore dipende dall'oggetto che subisce la trasformazione, ma la trasformazione è la stessa.
Si tratta infatti di un vettore libero. Le componenti che impongono la traslazione sono sempre le stesse, ma cambia il punto in cui viene applicato (in questo caso il punto di applicazione sarà il fiore, la barca a vela etc.).
"DR1":
Quindi se il vettore è applicato non ci sono differenze, allora è un segmento orientato e non(cito)
[quote=" DavideGenova"]Direi piuttosto che sia l'insieme di tutti e soli i segmenti orientati equipollenti tra loro
giusto?[/quote]
Un attimo: volevo dire che il vettore geometrico, o "vettore" tout court (rinnovo comunque l'invito alla precauzione nel parlare di "vettore-e-basta" perché come scoprirai anche una funzione può essere trattata come un vettore), è l'insieme dei segmenti orientati equipollenti ad un dato segmento orientato. Se è un vettore applicato, direi, da ciò che capisco del Sernesi, che è proprio il segmento orientato. Così è giusto, killing_buddha e gli altri?
Riesumo questa interessantissima discussione perché finalmente sto studiando spazi affini.
Il Sernesi definisce un vettore geometrico come classe di equipollenza di vettori applicati*. Il vettore applicato dello spazio ordinario (o segmento orientato) è definito come individuato da un punto iniziale $A$ e un punto finale $B$. Tutto ciò nelle primissime pagine del testo.
Ora, procedendo verso lo studio degli spazi affini, scopro che, data l'applicazione \(\phi:\mathbf{A} ×\mathbf{A}\to\mathbf{V}\) che definisce lo spazio affine associando ad ogni coppia di punti \((A,B)\in\mathbf{A}×\mathbf{A}\) un vettore \(\overrightarrow{AB}\in \mathbf{V}\), il punto $A$ è detto punto di applicazione di \(\overrightarrow{AB}\). Questo significa che \(\overrightarrow{AB}\) è un vettore applicato, individuato appunto dai punti $A$ e $B$ di \(\mathbf{A}\), dello spazio vettoriale sottostante allo spazio affine \(\mathbf{A}\)?
*dello spazio ordinario, direi, il quale credo poter essere definito come $RR^n$ con $n=2$ o $n=3$ considerato come spazio affine su stesso (lo spazio ordinario è uno spazio affine, giusto?) -e necessariamente con metrica euclidea o no?-, definito dall'applicazione sottrazione di vettori \(\phi:(\mathbb{R}^n)_a ×(\mathbb{R}^n)_a\to\mathbb{R}^n\), cioè, se \(\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\) sono vettori di $RR^n$ e punti di $(RR^n)_a$, \(\phi:(\mathbf{a},\mathbf{b})\mapsto \overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}\).
Non so quanto le idee che mi sto facendo siano giuste e ringrazio veramente $oo$-mente tutti coloro che vorranno contribuire ed aiutarmi a vederci più chiaro...
Il Sernesi definisce un vettore geometrico come classe di equipollenza di vettori applicati*. Il vettore applicato dello spazio ordinario (o segmento orientato) è definito come individuato da un punto iniziale $A$ e un punto finale $B$. Tutto ciò nelle primissime pagine del testo.
Ora, procedendo verso lo studio degli spazi affini, scopro che, data l'applicazione \(\phi:\mathbf{A} ×\mathbf{A}\to\mathbf{V}\) che definisce lo spazio affine associando ad ogni coppia di punti \((A,B)\in\mathbf{A}×\mathbf{A}\) un vettore \(\overrightarrow{AB}\in \mathbf{V}\), il punto $A$ è detto punto di applicazione di \(\overrightarrow{AB}\). Questo significa che \(\overrightarrow{AB}\) è un vettore applicato, individuato appunto dai punti $A$ e $B$ di \(\mathbf{A}\), dello spazio vettoriale sottostante allo spazio affine \(\mathbf{A}\)?
*dello spazio ordinario, direi, il quale credo poter essere definito come $RR^n$ con $n=2$ o $n=3$ considerato come spazio affine su stesso (lo spazio ordinario è uno spazio affine, giusto?) -e necessariamente con metrica euclidea o no?-, definito dall'applicazione sottrazione di vettori \(\phi:(\mathbb{R}^n)_a ×(\mathbb{R}^n)_a\to\mathbb{R}^n\), cioè, se \(\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\) sono vettori di $RR^n$ e punti di $(RR^n)_a$, \(\phi:(\mathbf{a},\mathbf{b})\mapsto \overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}\).
Non so quanto le idee che mi sto facendo siano giuste e ringrazio veramente $oo$-mente tutti coloro che vorranno contribuire ed aiutarmi a vederci più chiaro...
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