Versore normale

[Webster]

Sto cercando il versore normale ad un cicloide(espresso in forma parametrica tramite parametro t):prima di tutto ho calcolato il versore tangente $ ul(t)=(1-cos(t))/sqrt(2-2cos(t))ul(e[1])+sin(t)/sqrt(2-2cos(t))ul(e[2]) $ Adesso dovrei utilizzare la formula $ ul(n)=(dul(t)/dt)/||(dul(t)/dt)|| $ ma,come potete notare,si tratta di un calcolo piuttosto lungo.Conoscete una via più breve?

[gugo82]

Visto che sei su una curva piana, per avere il versore normale basta invertire le due componenti del versore tangente e cambiare di segno la prima.

In altre parole, se [tex]$\text{t} =t_1\ \text{e}_1 +t_2\ \text{e}_2$[/tex] è il versore tangente, il versore normale è [tex]$\text{n} =-t_2\ \text{e}_1 +t_1\ \text{e}_2$[/tex].
Infatti è evidente che [tex]$\langle \text{t}, \text{n} \rangle =0$[/tex] (sicché i due vettori sono ortogonali), che [tex]$|\text{n}|=|\text{t}|=1$[/tex] (cosicché i vettori sono normalizzati, ossia sono versori) ed inoltre:

[tex]$\det \begin{pmatrix} t_1 & t_2\\ -t_2 & t_1 \end{pmatrix} =|\text{t}|^2=1$[/tex]

(perciò la base [tex]$\{\text{t} ,\text{n}\}$[/tex] è orientata concordemente a quella canonica[tex]$\{ \text{e}_1,\text{e}_2\}$[/tex]).

[Webster]

Grazie!