Verificare se un vettore appartiene allo spazio affine delle soluzioni

[mark930]

Salve, ho questo esercizio:

Sia dato questo sistema lineare
\[\large \left\{\begin{matrix} x + y + z = -1 \\ x + y + 2z = 0 \\ 2x + 2y + 3z = -1 \end{matrix}\right.\]

Descrivere lo spazio affine delle soluzioni:

Risolvo il sistema con il metodo di Gauss e la soluzione è:

$SOL = {(-h,h, -1) : h \in R}$

Determinare se l'insieme delle soluzioni è una retta, un punto oppure un piano.

Per il teorema di R. Capelli sappiamo che la dimensione dello spazio delle soluzioni è

$n - rango(A)$

dove n è il numero di variabili, quindi in questo caso viene
$3-2 = 1$,
quindi l'insieme delle soluzioni è una retta

Stabilire se il sottospazio $W=L(-3,1,1)$ cioè il sottospazio generato dal vettore $(-3,1,1)$ coincide con la giacitura dello spazio affine determinato al punto precedente

Quindi devo prima calcolare la giacitura del sottospazio affine, che trovo risolvendo questo sistema
\[\large \left\{\begin{matrix} x + y + z = 0 \\ x + y + 2z = 0 \\ 2x + 2y + 3z = 0 \end{matrix}\right.\]

le soluzioni sono:

$SOL ={(-h,h,0) : h\inR}$

il vettore $(-3,1,1)$ non coincide con la giacitura perchè non appartiene ad essa, è corretto?

[ciampax]

Veramente l'insieme delle soluzioni del primo sistema è
$$\{(h,-h-2,1)\ :\ h\in\mathbb{R}\}$$

[mark930]

"ciampax":Veramente l'insieme delle soluzioni del primo sistema è
$$\{(h,-h-2,1)\ :\ h\in\mathbb{R}\}$$

ok, apparte questo la seconda parte è giusta?

[dan952]

Mi affido ai conti di Ciampax, le soluzioni sono i vettori
$((h),(-h-2),(1))=h((1),(-1),(0))+((0),(-2),(1))$
La giacitura è data dal vettore $((1),(-1),(0))$ che come hai già visto non è proporzionale al vettore $((-3),(1),(1))$ quindi non hanno la stessa giacitura.