Verificare se un sottospazio è invariante

[andrea.corzino]

Salve

Vi prego di aiutarmi in questa faccenda...Come da titolo sono alle prese con questo problema.

In particolare devo verificare che gli autospazi generati dai corrispettivi autovettori di una matrice $ A_(3xx3) $ sono invarianti rispetto alle matrici $ B_(3xx3) $ , $ C_(3xx3) $ e $ D_(3xx3) $

Io in generale so che un sottospazio $ U $ dello spazio vettoriale di $ A_(3xx3 $ (o se vogliamo del corrispettivo endomorfismo) è invariante rispetto a una matrice $ B_(3xx3 $ SE e solo se:

$ u_(1xx 3)*B_(3xx 3)=u_(1xx 3)^{\prime} $

con $ u,u^{\prime}in U $

Ora praticamente come dovrei fare??

Supponiamo che $ B= ( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $

e che $ A_(3xx3 $ abbia un autospazio $ U $ di dimensione 2 e che ad esempio sia definito dai vettori base
$ U= {( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) ;( ( -1 ),( 0),( 1 ) )} $

Ora per fare $ u*B $ come dovrei fare?
Cioè che vettore scelgo per l'autospazio $ U $ ??
Il vettore $ u $ che è una combinazione lineare dei vettori base? e gli scalari li devo tenere in formula generica o assegnargli un valore??

Perchè il vettore piu generico di $ U $ che mi definisce tutti i vettori del sottospazio sarebbe $ u= ( ( -alpha-beta ),( alpha ),( beta ) ) $

Ma a sto punto che devo fare? lo lascio cosi e faccio
$ u*B=( ( -alpha-beta ),( alpha ),( beta ) ) * ( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $

Oppure questo $ u $ lo devo lasciare espresso come combinazione lineare o cosa?
Cioè non so se è giusto esprimere $ u inU $ per verificare l'invarianza rispetto a un altra matrice (non quella per cui è autospazio) nel modo appena mostrato

Potete chiarirmi solo questo punto? non mi interessano i calcoli ma solo se è giusto il modo di esprimere il vettore u.
GRAZIE!!!!!!!!

[gordnbrn]

Dovresti dimostrare che, per ogni coppia $(\alpha,\beta)$, esiste una coppia $(\alpha_1,\beta_1)$ tale che:

$\alpha_1((-1 ),(1),(0))+\beta_1((-1 ),(0),(1))=((1,2,1),(0,2,0 ),(1,-2,1))[\alpha((-1 ),(1),(0))+\beta((-1 ),(0),(1))]$

Si tratta di un sistema parametrico in $\alpha$ e $\beta$ di tre equazioni nelle due incognite $\alpha_1$ e $\beta_1$. Bisogna discuterlo:

Equazione 1: $-\alpha_1-\beta_1=\alpha$

Equazione 2: $\alpha_1=2\alpha$

Equazione 3: $\beta_1=-3\alpha$

Il sistema ammette la soluzione banale solo se $\alpha=0$.

[andrea.corzino]

penso di aver captio....grazie mille gordnbrn!!