Verificare se un applicazione lineare è isomorfismo

[giga89]

ciao a tutti di nuovo, ennesimo dubbio

per verificare se un applicazione lineare è isomorfismo come faccio? devo verificare se è invertibile giusto? un applicazione invertibile è un isomorfismo mi pare..

in pratica, se ho un esercizio del genere

Sia data l’applicazione lineare f : R3 → R3 $ f(x, y, z) = (x+2z, y+z, z) $

a) è un isomorfismo? Motivare la risposta.

devo costruire la matrice
$ ( ( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 ,0 , 1 ) ) $

e calcolare il determinante

se viene diverso da zero è invertibile quindi isomorfismo?

[Sk_Anonymous]

Ok.

[giga89]

yeah xD risposta breve ma è ciò che volevo..mi s'è aperto un mondo *____* finalmente ho capito che cavolicchio vuol dire verificare se è isomorfismo ahahaha

[Antimius]

un applicazione invertibile è un isomorfismo mi pare..

Sì, un'applicazione lineare invertibile è un isomorfismo, ma non confonderti: un isomorfismo non è semplicemente un'applicazione invertibile.
Dati due insiemi [tex]$(X,\bullet)$[/tex] e [tex]$(Y, \diamond)$[/tex] dotati delle operazioni binarie [tex]$\bullet, \, \diamond$[/tex] rispettivamente, hai che un'applicazione [tex]$\varphi: X \to Y$[/tex] è un omomorfismo se [tex]$\varphi(x_1 \bullet x_2) = \varphi(x_1) \diamond \varphi(x_2) \, \forall x_1,x_2 \in X$[/tex].
Un omomorfismo biettivo (quindi invertibile) è detto isomorfismo.
Allora, intuitivamente l'isomorfismo ci dice che essi hanno la stessa "struttura", a ogni parte di [tex]$X$[/tex] corrisponde una parte di [tex]$Y$[/tex] e viceversa.

Nel caso particolare di spazi vettoriali, le applicazioni lineari sono omomorfismi, quindi ti è sufficiente verificare la biettività.

[giga89]

"Antimius":

un applicazione invertibile è un isomorfismo mi pare..

Sì, un'applicazione lineare invertibile è un isomorfismo, ma non confonderti: un isomorfismo non è semplicemente un'applicazione invertibile.
Dati due insiemi [tex]$(X,\bullet)$[/tex] e [tex]$(Y, \diamond)$[/tex] dotati delle operazioni binarie [tex]$\bullet, \, \diamond$[/tex] rispettivamente, hai che un'applicazione [tex]$\varphi: X \to Y$[/tex] è un omomorfismo se [tex]$\varphi(x_1 \bullet x_2) = \varphi(x_1) \diamond \varphi(x_2) \, \forall x_1,x_2 \in X$[/tex].
Un omomorfismo biettivo (quindi invertibile) è detto isomorfismo.
Allora, intuitivamente l'isomorfismo ci dice che essi hanno la stessa "struttura", a ogni parte di [tex]$X$[/tex] corrisponde una parte di [tex]$Y$[/tex] e viceversa.

Nel caso particolare di spazi vettoriali, le applicazioni lineari sono omomorfismi, quindi ti è sufficiente verificare la biettività.

tutto tutto chiaro grazie

[giga89]

se nello stesso esercizio mi viene chiesto di calcolarne l'immagine cosa devo fare?

[Antimius]

Nel tuo caso hai un isomorfismo. In particolare quindi l'applicazione è suriettiva: $Im f= RR^3$.

[giga89]

quindi come immagine posso mettere un qualsiasi vettore di R3 visto che l'immagine è tutto R3?