Verificare l'autovettore di una matrice

[ludwigZero]

salve
ho una matrice 2x2 di questo tipo:
$A=((-1,1),(1,1))$

e devo verificare se $((3),(1))$ è autovettore di B

utilizzo la definizione

$A X = \lambda X$

con l'autovettore
$X=((x_1),(x_2)) = ((3),(1))$

$((-1,1),(1,1)) ((3),(1)) = \lambda ((3),(1))$

$-2 = 3 \lambda$
$4 = \lambda$

se vado a vedere il polinomio caratteristico, $\lambda = -sqrt(2)$ e $\lambda = sqrt(2)$
quindi pare che $((3),(1))$ non sia autovettore...

domanda: $\lambda = -sqrt(2)$ va scartato?

(s)conferme?

grazie

[Emar1]

"ludwigZero":
$-2 = 3 \lambda$
$4 = \lambda$

Già da qui puoi concludere che non è un autovettore in quanto questo sistema non ha soluzioni

"ludwigZero":
se vado a vedere il polinomio caratteristico, $\lambda = -sqrt(2)$ e $\lambda = sqrt(2)$
quindi pare che $((3),(1))$ non sia autovettore...

Esatto! Gli autovalori sono $\sqrt(2)$ e $-\sqrt(2)$

"ludwigZero":
domanda: $\lambda = -sqrt(2)$ va scartato?

Perché mai?

[ludwigZero]

Quindi ricapitolando:
1) gli autovalori sono due, ognuno di molteplicità algebrica 1
2) il presunto autovettore, non è autovettore, in quanto non vi è associato nessuno dei due autovalori
3) se dal sistema (applicando la definizione di autovettore) già trovo che i $\lambda$ non sono uguali, posso concludere l'esercizio (senza nemmeno trovare gli autovalori)?

l'esercizio agli occhi del mio prof deve essere il più pulito possibile xD

[Emar1]

"ludwigZero":Quindi ricapitolando:
1) gli autovalori sono due, ognuno di molteplicità algebrica 1

Sì.

"ludwigZero":
2) il presunto autovettore, non è autovettore, in quanto non vi è associato nessuno dei due autovalori

Il fatto che non vi sia associato nessuno dei due autovalori è un aspetto, concettualmente, secondario. Non è un autovalore poiché semplicemente non puoi dividere il prodotto $A\mathbf{v}$ per nessun numero appartenente a $\mathbb{C}$ e ottenere $\mathbf{v}$.

"ludwigZero":
3) se dal sistema (applicando la definizione di autovettore) già trovo che i $\lambda$ non sono uguali, posso concludere l'esercizio (senza nemmeno trovare gli autovalori)?

E' appunto questo che ho voluto sottolineare un attimo fa. Se non $A\mathbf{v}$ non è esprimibile come $\alpha\mathbf{v}$ con $\alpha \in \mathbb{C}$, allora puoi già concludere che non è un autovalore. Poi, per averne conferma puoi anche calcolare gli autovalori e verificare di conseguenza in che forma si presentano gli autovettori associati, ma questo non è indispensabile.

Saluti