Verificare l'appartenenza di un Punto al sistema di due rett
salve. scusatemi ma non sapevo come spiegarmi meglio in poche parole, ma è molto più complesso di come sembra.
allora cerco di spiegarmi al meglio.
Sia un punto P di coordinate(x,y), immaginatelo come un uomo, con un angolo di visuale delta. con direzione teta, dove lo zero dell'angolo teta è il Nord.
come posso verificare se un punto Pi appartiene alla "visuale" dell'uomo.
Graizie in anticipo
allora cerco di spiegarmi al meglio.
Sia un punto P di coordinate(x,y), immaginatelo come un uomo, con un angolo di visuale delta. con direzione teta, dove lo zero dell'angolo teta è il Nord.
come posso verificare se un punto Pi appartiene alla "visuale" dell'uomo.
Graizie in anticipo
Risposte
Ci vorrebbe un disegno, lo descrivo solo, per intenderci. Facciamo che l'asse $y$ punta verso nord, l'asse $x$ verso est, come usuale. Sia l'uomo in un punto $P(x_P, y_P)$ e il punto che vogliamo sapere se rientra nel suo campo di vista sia $Q(x_Q,y_Q)$.
Per semplificare il discorso facciamo una traslazione che porti l'uomo sull'origine, per cui il punto $Q$ sarà spostato in un nuovo punto $Q' (x_Q -x_P, y_Q - y_P) = (x_Q', y_Q')$. La linea di vista dell'uomo è una retta passante per l'origine che forma un angolo $theta$ con la parte positiva dell'asse y. La visuale è limitata da due rette passanti per l'origine formanti angoli $theta + (delta)/2$ e $theta - (delta)/2$ con la parte positiva dell'asse y.
A questo punto basta vedere che angolo forma la retta $OQ$ con la parte positiva dell'asse y (chiamiamolo $phi$).
Semplice trigonometria ti dà che $tan(phi) = (x_Q')/(y_Q') = (x_Q - x_P)/(y_Q -y_P)$. In alternativa $tan(phi) = 1/m$, dove $m$ è il coefficiente angolare della retta $OQ$ (perchè?).
Infine, considerando che la tangente è una funzione crescente per angoli tra $0$ e $(pi)/2$, si ha che $Q$ rientra nella visuale se $tan(theta -(delta)/2) < tan(phi) < tan(theta +(delta)/2)$.
Per semplificare il discorso facciamo una traslazione che porti l'uomo sull'origine, per cui il punto $Q$ sarà spostato in un nuovo punto $Q' (x_Q -x_P, y_Q - y_P) = (x_Q', y_Q')$. La linea di vista dell'uomo è una retta passante per l'origine che forma un angolo $theta$ con la parte positiva dell'asse y. La visuale è limitata da due rette passanti per l'origine formanti angoli $theta + (delta)/2$ e $theta - (delta)/2$ con la parte positiva dell'asse y.
A questo punto basta vedere che angolo forma la retta $OQ$ con la parte positiva dell'asse y (chiamiamolo $phi$).
Semplice trigonometria ti dà che $tan(phi) = (x_Q')/(y_Q') = (x_Q - x_P)/(y_Q -y_P)$. In alternativa $tan(phi) = 1/m$, dove $m$ è il coefficiente angolare della retta $OQ$ (perchè?).
Infine, considerando che la tangente è una funzione crescente per angoli tra $0$ e $(pi)/2$, si ha che $Q$ rientra nella visuale se $tan(theta -(delta)/2) < tan(phi) < tan(theta +(delta)/2)$.
ero quasi arrivato ad una soluzione simile, cambia solo l'ultima parte.
tu utilizzi la tangente mentre io utilizzavo l'equazione delle due rette che delimitano l'area della visuale.
ho calcolato le equazioni delle due rette tramite la formula della retta passante per due punti (i due punti nuovi trovati li ho calcolati con la proiezione di sin e cos)e poi ho messo tutto a sistema differenziale in base al quadrante in cui ricade l'omino.
sono entrambe soluzioni valide oppure, solo la tua è valida?
tu utilizzi la tangente mentre io utilizzavo l'equazione delle due rette che delimitano l'area della visuale.
ho calcolato le equazioni delle due rette tramite la formula della retta passante per due punti (i due punti nuovi trovati li ho calcolati con la proiezione di sin e cos)e poi ho messo tutto a sistema differenziale in base al quadrante in cui ricade l'omino.
sono entrambe soluzioni valide oppure, solo la tua è valida?
A occhio va bene anche la tua.
ok. grazie mille.
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