Verificare Isomorfismo
Buongiorno,
Avendo un endomorfismo f :\( \Re ^3\rightarrow \Re ^3 \) la cui matrice associata rispetto alla base canonica di \( \Re ^3 \) è la matrice:
A: \( \begin{pmatrix} 0 & 1-a & a-1 \\ 1-a & -1 & 0 \\ 2-2a & 2a & 0 \end{pmatrix} \)
Stabilire per quali valori di a, f è isomorfismo.
Io ho pensato che per essere isomorfismo l'applicazione deve essere biiettiva, quindi deve essere invettiva (nucleo=0) e surriettiva (rkA=dim(Imf))
Svolgendo l'esercizio però mi vengono valori discordanti tra le due ipotesi dei inniettività e surriettività, riuscireste ad aiutarmi? Grazie
Avendo un endomorfismo f :\( \Re ^3\rightarrow \Re ^3 \) la cui matrice associata rispetto alla base canonica di \( \Re ^3 \) è la matrice:
A: \( \begin{pmatrix} 0 & 1-a & a-1 \\ 1-a & -1 & 0 \\ 2-2a & 2a & 0 \end{pmatrix} \)
Stabilire per quali valori di a, f è isomorfismo.
Io ho pensato che per essere isomorfismo l'applicazione deve essere biiettiva, quindi deve essere invettiva (nucleo=0) e surriettiva (rkA=dim(Imf))
Svolgendo l'esercizio però mi vengono valori discordanti tra le due ipotesi dei inniettività e surriettività, riuscireste ad aiutarmi? Grazie
Risposte
Se \(a=1\) la terza colonna è zero, quindi \(A\) non può essere invertibile. Se il minore \((1,3)\) è zero, idem (e questo succede se e solo se \(a=-1\).
"megas_archon":
Se il minore \((1,3)\) è zero
Può spiegarmi questo passaggio? Grazie
https://it.wikipedia.org/wiki/Minore_(algebra_lineare)
Avrei dovuto dire "il minore \([A]_{\{2,3\},\{1,2\}}\), e invece ho detto "il minore \(A_{1,3}\)", ma ci capiamo.
Avrei dovuto dire "il minore \([A]_{\{2,3\},\{1,2\}}\), e invece ho detto "il minore \(A_{1,3}\)", ma ci capiamo.
giusto grazie
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