Verificare esistenza e unicità endomorfismo

[NicolaT1]

Ciao a tutti, questo è il mio primo topic su Matematicamente quindi sperò di non essere poco comprensibile specialmente per quanto riguarda le formule.

E' da qualche ora che cerco di risolvere un esercizio preso da un vecchio appello del mio professore di Algebra llineare e geometria ma giunto a un certo punto della risoluzione non riesco più a procedere.

Il testo dell'esercizio è il seguente:

Si dica se esiste una funzione lineare L da $ RR^{3} $ in sè tale che $(1,0,0)+<(1,1,0)>$ sia l'antiimmagine di $(1,0,0)$ e $(2,1,1)$ sia l'autovettore relativo all'autovalore $1$. In caso di risposta affermativa, si dica se è unica; e se sì, se ne determini la matrice (rispetto alla base canonica). [/list:u:24iz21x3]
Per dimostare l'esistenza dell'endomorfismo ho pensato di usare il teorema secondo cui, se i vettori su cui agisce l'applicazione lineare sono una base di $ RR^{3} $ allora l'applicazione lineare esiste ed è unica.

Svolgimento:
Cerco di determinare i vettori di $ RR^{3} $ su cui agisce il possibile endomorfismo richiesto
se $L^{-1}(1,0,0)=(1,0,0)+<(1,1,0)>$ allora

$L(1,0,0)=(1,0,0)$
$L(1,1,0)=(0,0,0)$[/list:u:24iz21x3]
ho così determinato due vettori linearmente indipendenti del dominio, cerco ora il terzo vettore mediante l'autovettore
se $vec(v)=(2,1,1)$ è autovettore associato all'autovalore $\lambda=1$ allora da $Avec(v)=\lambdavec(v)$ ottengo
$[[0,1,\alpha],[0,0,\beta],[0,0,\gamma]][[2],[1],[1]]=[[2],[1],[1]]$ $rArr$ $[[1+\alpha],[\beta],[\gamma]]=[[2],[1],[1]]$ $rArr$ ${ ( 1+alpha=2 ),( beta=1 ),( gamma=1 ):} $ $rArr$ ${ ( alpha=1 ),( beta=1 ),( gamma=1 ):} $

quindi la matrice associata all'endomorfismo è $[[0,1,1],[0,0,1],[0,0,1]]$ che ha rango $2$ come prevedibile sin dall'inizio visto che $dim(Ker(L))=1$.

Giunto a questo punto cominciano i problemi cioé, ora che ho la matrice associata a $L$, come posso ricavarmi il terzo vettore? Io o provato con la strada seguente ma non sono né convinto del procedimento né tanto meno sicuro che sia corretto. Allora

Cerco un vettore $(x,y,z)$ tale che $L((x,y,z)+<(1,1,0)>)$ $=(1,1,1)$, ora questo problema mi sembra lo stesso di cercare una soluzione particolare di un sistema lineare non omogeneo (giusto?). Visto che la differenza fra due soluzioni particolari appartiene al nucleo, allora
$(x-1,y-0,z-0) in <(1,1,0)>$ quindi il rango della matrice $[[x-1,y,z],[1,1,0]]=2$ e ponendo nulli i determinanti di due minori $2x2$ ottengo il sistema ${(x-1-y=0),(z=0):}$ che ha come soluzioni $(0,-1,0)+<(1,1,0)>$.
Da quanto svolto sopra un terzo vettore del dominio è $(0,-1,0)$ quindi in conclusione
$L(1,0,0)=(1,0,0)$
$L(1,1,0)=(0,0,0)$
$L(0,-1,0)=(1,0,0)$[/list:u:24iz21x3].
Si nota subito che i tre vettori non sono una base di $RR^{3}$ perché $(1,1,0)$ è combinazione lineare di $(0,-1,0)$ e $(1,0,0)$ quindi $L$ esiste ma non è unico.

Ora mi pare strano che il professore in un appello chieda di dimostare se $L$ è unica e di determinarne la matrice rispetto alla base canonica pur sapendo che l'endomorfismo non è unico, per questo motivo mi è sorto il dubbio. Spero che qualche anima pia abbia voglia di leggersi tutto questo topic e dirmi se la risoluzione è corretta, sbagliata o se esiste un procedimento più elegante e corretto.

[mistake89]

Scusami non ho ben capito il tuo procedimento nello svolgere del tuo esercizio.

Hai un'applicazione $L$ tale che $L(1,1,0)=(0,0,0)$, $L(2,1,1)=(2,1,1)$, $L(1,0,0)=(1,0,0)$ hai tre vettori linearmente indipendenti in $RR^3$, ti basta questo ad assicurarti l'esistenza e l'unicità dell'endomorfismo.

Quale sarebbe questo vettore che vuoi ricavare?

[NicolaT1]

Il vettore che cercavo era proprio $(2,1,1)$, quindi tutto il mio procedimento non ha assolutamente alcun senso! Il fatto è che non avevo mai studiato l'argomento della diagonalizzazione considerando l'omomorfismo associato alle matrici. Effettivamente però se $A$ è la matrice associata all'endomorfismo $L$ allora il prodotto $Avec(b)=1vec(b)$ è equivalente a $L(vec(b))=(vec(b))$ .
Se ora ho capito bene allora sono proprio un idiota perché l'esercizio risulta facilissimo e in aggiunta c'era nell'esame di oggi!
mistake89 grazie mille per il chiarimento.