Verificare che U è un sottospazio
Sia A= $ ( ( -7 , 3 ),( -1 , 1 ) ) $ ∈ $M_2$ (R) e sia U = ( X ∈ $M_2$ (R) t.c. AX è diagonale)
Verificare che U è un sottospazio vettoriale di $M_2$ (R). Determinare la dimensione di U e una base di U.
Completare una base di U a base di $M_2$ (R).
Qualcuno può aiutarmi perchè non so proprio cosa fare!!!
Verificare che U è un sottospazio vettoriale di $M_2$ (R). Determinare la dimensione di U e una base di U.
Completare una base di U a base di $M_2$ (R).
Qualcuno può aiutarmi perchè non so proprio cosa fare!!!
Risposte
Ciao Mauro,
postare direttamente la soluzione al problema non so quanto possa aiutarti, quindi provo a darti qualche dritta.
Per dimostrare che U è uno spazio vettoriale (essendo banalmente* \(\displaystyle U \subseteq \mathcal{M}_2 (\mathbb{R}) \) ) è sufficiente dimostrare che \(\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \forall X,Y \in U \) risulti \(\displaystyle \alpha X+\beta Y \in U \).
Per la dimensione e una base di U, prova ad esprimere con un sistema di equazioni la condizione che la matrice $AX$ sia diagonale (da lì dovresti riuscire poi facilmente).
* Ti chiedo scusa per il "banalmente", ma è stato più forte di me..
non l'ho mai usato nella vita ed ho sempre detestato i libri che ne abusano 
Ad ogni modo, la proposizione è "banale" perché ogni elemento di U è anche elemento di \(\displaystyle \mathcal{M}_2 (\mathbb{R}) \).
postare direttamente la soluzione al problema non so quanto possa aiutarti, quindi provo a darti qualche dritta.
Per dimostrare che U è uno spazio vettoriale (essendo banalmente* \(\displaystyle U \subseteq \mathcal{M}_2 (\mathbb{R}) \) ) è sufficiente dimostrare che \(\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \forall X,Y \in U \) risulti \(\displaystyle \alpha X+\beta Y \in U \).
Per la dimensione e una base di U, prova ad esprimere con un sistema di equazioni la condizione che la matrice $AX$ sia diagonale (da lì dovresti riuscire poi facilmente).
* Ti chiedo scusa per il "banalmente", ma è stato più forte di me..
non l'ho mai usato nella vita ed ho sempre detestato i libri che ne abusano Ad ogni modo, la proposizione è "banale" perché ogni elemento di U è anche elemento di \(\displaystyle \mathcal{M}_2 (\mathbb{R}) \).
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