Verificare che sottoinsiemi sono sottospazi

[Serus]

Ciao a tutti,
come verifico se un sottoinsieme è un sottospazio?
So che un sottoinsieme è un sottospazio se è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto per uno scalare ma non so come applicare queste "condizioni" ad esercizi simili:

in R3:
W1: {(x,y,z) | x = 3y}
W2: {(x,y,z) | x+2y = x-3y = x-z = 0 }
W3: {(x,y,0) | x

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feddy

26 giu 2016, 15:35

Notiamo subito che W3 non è un sottospazio vettoriale di $R^3$, poiché il vettore nullo non appartiene ad esso.

Vediamo se $W1$ è sottospazio vettoriale di $R^3$
W1 è definito equivalentemente così: $x-3y=0$
Innanzitutto W1 contiene il vettore nullo.
i) dobbiamo verificare che per due generici vettori $v=(x1,y1,z1)$ e $w=(x2,y2,z2)$ di R^3 valga $v+w € R^3$
$v+w= (x1+x2,y1+y2,z1+z2)$
applichiamo la definzione di W1, ottenedo $x1 + x2 - 3y1 - 3y2 = 0$
Riordiniamo i termini: $(x1 - 3y1) + (x2-3y2)$ = 0. Poiché però abbiamo scelto v,w che stanno in W1, allora l'uguaglianza è verificata e quindi abbiamo $0=0.$

ii) Dato un $\alpha € R^3$ e v di R^3, si deve avere: $\alphav € R^3.$

Prendiamo ancora $(x1,y1,z1)$.
$(\alpha)v = (\alphax1,\alphay1,\alphaz1) $

applicando ancora la definizione di W1 abbiamo: $\alphax1 - 3\alphay1= 0$
Raccogliendo $\alpha$ abbiamo: $\alpha(x1-3y1)=0$ e quindi 0=0, poiché sappiamo che della definizione di W1: $x-3y=0$



2) Verifichiamo per $W2$
Il vettore nullo è contenuto chiaramente, visto che non ci sono termini noti !

(i)prendiamo v, w definiti come prima.
il vettore somma sarà ancora: $(x1+x2,y1+y2,z1+z2)$
applicando le tre definizioni abbiamo:
$x1 +x2 + 2y1 +2y2 =0$, raccogliendo: $(x1+2y1)+(x2+2y2) = 0$ e poiché i vettori presi stanno in W2 l'uguaglianza è verificata
la seconda è la stessa di $W1$ e sappiamo funzionare
$x1 +x2 - z1 -z2=0$ e sistemando i termini: $(x1-z1) + (x2-z2)=0$ e come prima ciò è verificato

(ii)
dato $\alpha$ in R^3
$\alpha(x,y,z)=(\alphax,\alphay,\alphaz)$

$\alphax+2\alphay= 0$, raccogliendo: $\alpha(x+2y)=0$, e quindi 0=0
per la seconda equazione procediamo analogamente a prima, visto che è uguale:

$\alpha$ abbiamo: $\alpha(x1-3y1)=0$ e quindi 0=0
e infine
$\alphax - \alphaz = 0$, quindi $\alpha(x-z)=0$... dunque le ipotesi sono verificate e $W2$ è sottospazio di $R^3$

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[feddy]

Notiamo subito che W3 non è un sottospazio vettoriale di $R^3$, poiché il vettore nullo non appartiene ad esso.

Vediamo se $W1$ è sottospazio vettoriale di $R^3$
W1 è definito equivalentemente così: $x-3y=0$
Innanzitutto W1 contiene il vettore nullo.
i) dobbiamo verificare che per due generici vettori $v=(x1,y1,z1)$ e $w=(x2,y2,z2)$ di R^3 valga $v+w € R^3$
$v+w= (x1+x2,y1+y2,z1+z2)$
applichiamo la definzione di W1, ottenedo $x1 + x2 - 3y1 - 3y2 = 0$
Riordiniamo i termini: $(x1 - 3y1) + (x2-3y2)$ = 0. Poiché però abbiamo scelto v,w che stanno in W1, allora l'uguaglianza è verificata e quindi abbiamo $0=0.$

ii) Dato un $\alpha € R^3$ e v di R^3, si deve avere: $\alphav € R^3.$

Prendiamo ancora $(x1,y1,z1)$.
$(\alpha)v = (\alphax1,\alphay1,\alphaz1) $

applicando ancora la definizione di W1 abbiamo: $\alphax1 - 3\alphay1= 0$
Raccogliendo $\alpha$ abbiamo: $\alpha(x1-3y1)=0$ e quindi 0=0, poiché sappiamo che della definizione di W1: $x-3y=0$



2) Verifichiamo per $W2$
Il vettore nullo è contenuto chiaramente, visto che non ci sono termini noti !

(i)prendiamo v, w definiti come prima.
il vettore somma sarà ancora: $(x1+x2,y1+y2,z1+z2)$
applicando le tre definizioni abbiamo:
$x1 +x2 + 2y1 +2y2 =0$, raccogliendo: $(x1+2y1)+(x2+2y2) = 0$ e poiché i vettori presi stanno in W2 l'uguaglianza è verificata
la seconda è la stessa di $W1$ e sappiamo funzionare
$x1 +x2 - z1 -z2=0$ e sistemando i termini: $(x1-z1) + (x2-z2)=0$ e come prima ciò è verificato

(ii)
dato $\alpha$ in R^3
$\alpha(x,y,z)=(\alphax,\alphay,\alphaz)$

$\alphax+2\alphay= 0$, raccogliendo: $\alpha(x+2y)=0$, e quindi 0=0
per la seconda equazione procediamo analogamente a prima, visto che è uguale:

$\alpha$ abbiamo: $\alpha(x1-3y1)=0$ e quindi 0=0
e infine
$\alphax - \alphaz = 0$, quindi $\alpha(x-z)=0$... dunque le ipotesi sono verificate e $W2$ è sottospazio di $R^3$