Verificare che insieme sia SSV
Buongiorno.
Ho un esercizio che mi chiede di verificare se l'insieme A definito da (x,y,z) appartenenti a R^3 t.c. x-y+z=0 e x-2y=0 è un SSV di R^3 e devo trovarne la base.
Ora nel primo caso devo verificare le 3 condizioni, però i passaggi algebrici mi confondono sempre.
Mi dite se fatto così è giusto?
E' facile vedere che il vettore nullo appartiene all'insieme, basta prendere x,y,z=0.
Poi esplicito i due parametri nelle equazioni e le sostituisco nel vettore generico dell'insieme A, che diventa quindi (2y, y, -y).
Perciò:
(2y1,y1,-y1)+(2y2,y2,-y2)=(2y1+2y2,y1+y2,-y1-y2)
Ho sommato i due vettori, ma non posso ancora concludere che la somma è chiusa, giusto?
Dovrei riordinare?
E diventerebbe:
(2y1,y1,-y1)+(2y2,y2,-y2) e posso concludere che essendo entrambi eguagliati a 0 la condizione è soddisfatta?
Per la moltiplicazione discorso analogo.
Prendo:
a(2y, y, -y) e so che soddisfa la condizione di uguaglianza con lo 0.
E per la base?
Grazie.
Ho un esercizio che mi chiede di verificare se l'insieme A definito da (x,y,z) appartenenti a R^3 t.c. x-y+z=0 e x-2y=0 è un SSV di R^3 e devo trovarne la base.
Ora nel primo caso devo verificare le 3 condizioni, però i passaggi algebrici mi confondono sempre.
Mi dite se fatto così è giusto?
E' facile vedere che il vettore nullo appartiene all'insieme, basta prendere x,y,z=0.
Poi esplicito i due parametri nelle equazioni e le sostituisco nel vettore generico dell'insieme A, che diventa quindi (2y, y, -y).
Perciò:
(2y1,y1,-y1)+(2y2,y2,-y2)=(2y1+2y2,y1+y2,-y1-y2)
Ho sommato i due vettori, ma non posso ancora concludere che la somma è chiusa, giusto?
Dovrei riordinare?
E diventerebbe:
(2y1,y1,-y1)+(2y2,y2,-y2) e posso concludere che essendo entrambi eguagliati a 0 la condizione è soddisfatta?
Per la moltiplicazione discorso analogo.
Prendo:
a(2y, y, -y) e so che soddisfa la condizione di uguaglianza con lo 0.
E per la base?
Grazie.
Risposte
Ciao 
,
vediamo se riesco ad aiutarti. Perchè espliciti i parametri?
Per quanto riguarda la base, credo sia sufficiente risolvere:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x-y+z=0\\
x-2y=0
\end{matrix}\right. \)
Le soluzioni di questo sistema saranno le componenti della base. Sai come si calcola la dimensione della base, in questo caso?
,vediamo se riesco ad aiutarti. Perchè espliciti i parametri?
Per quanto riguarda la base, credo sia sufficiente risolvere:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x-y+z=0\\
x-2y=0
\end{matrix}\right. \)
Le soluzioni di questo sistema saranno le componenti della base. Sai come si calcola la dimensione della base, in questo caso?
"Nico769":
Ciao
vediamo se riesco ad aiutarti. Perchè espliciti i parametri?
Ciao a te
Esplicito i parametri per "unificare" le due condizioni in modo da trovare la "forma" di un vettore che sicuramente le soddisfa entrambe. Mi risparmio cioè di fare la doppia verifica. Sbaglio?
"Nico769":
Per quanto riguarda la base, credo sia sufficiente risolvere:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x-y+z=0\\
x-2y=0
\end{matrix}\right. \)
Le soluzioni di questo sistema saranno le componenti della base. Sai come si calcola la dimensione della base, in questo caso?
se la soluzione del sistema è
(2y, y, -y)
Le componenti (rispetto alla base canonica) sono (2, 1, -1) e lo Span di questi genera tutto A, quindi la dimensione è 1? Ma non sono sicura.
Mhh capito. Sinceramente, non so dirti con precisione se sia giusto, ma a prima vista direi di si. Personalmente, inoltre, preferisco svolgere le "tre" condizioni (per verificare che l'insieme sia SSV). In questo caso, direi che l'insieme dato è un sottospazio vettoriale, ti trovi? Ovviamente, sono anch'io uno studente come te, quindi posso sbagliare 
.
Per quanto riguarda l'altro punto, non ho ben capito il tuo procedimento, dunque non so dirti se sia corretto. Io avrei calcolato il rango di \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 &-1 &1 \\
1& -2&0
\end{pmatrix} \) e utilizzato il th. che, come conseguenza, ti dice: $dim S=n-rk(A)$ dove $S$ è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di partenza, $n$ corrisponde col numero di incognite del sistema (in questo caso 3, $(x,y,z)$) e rk(A) corrisponde al rango, appunto, di $A$
.Per quanto riguarda l'altro punto, non ho ben capito il tuo procedimento, dunque non so dirti se sia corretto. Io avrei calcolato il rango di \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 &-1 &1 \\
1& -2&0
\end{pmatrix} \) e utilizzato il th. che, come conseguenza, ti dice: $dim S=n-rk(A)$ dove $S$ è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di partenza, $n$ corrisponde col numero di incognite del sistema (in questo caso 3, $(x,y,z)$) e rk(A) corrisponde al rango, appunto, di $A$
Quale sarebbe questo teorema?
"Nico769":io non lo so...
Sai come si calcola la dimensione della base, in questo caso?
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