Verifica su sottospazi

[mrpoint]

Come prima cosa salve a tutti,
ho incontrato un problema che mi lascia piuttosto perplesso, vi riporto di seguito il testo.

In $RR^3$, verificare che:

$U_1={(x,y,z)\epsilonRR^3 | 4x+5y+9z,2x+6y+7z=0}

è contenuto in

$U_2={(x,y,z)\epsilonRR^3 | 2x-y+2z=0}$

Vi spiego in breve il mio dubbio, a logica se U1 è contenuto in U2 significa che tutti i suoi vettori completamente contenuti in U2 e quindi sono combinazione lineare delle sue basi. Ma questo non ha senso e per rendersene conto basta guardare le basi, U2 ha dimensione 1 mentre U1 ha dimensione 2.
E infatti nella risoluzione dell'esercizio si va a creare la matrice delle componenti sia di U1 che di U2 e la si riduce, trovando che le componenti del dell'equa omogenea di U2 sono c.l. di quelle di U1, quindi ogni vettore di U2 può essere scritto come c.l. delle basi di U1.

Ma questo dovrebbe significare che è U2 contenuto in U1 e non viceversa, cosa nel mio ragionamento è errato? Cosa si intende di preciso quando si chiede di verificare che U1 è contenuto in U2?

Grazie a tutti

[legendre]

Hai sbagliato nel determinare le dimensioni:$U_2$ e' di 2 dimensioni:infatti e' $y=2x+2z$ cioe'$x(1,2,0)+z(0,2,1)$ quindi $U_2=L<(1,2,0),(0,2,1)>$
$U_1$ e' dimensione 1 poiche'mettendo a sistema le 2 equazioni ottieni un vettore del tipo $t(a,b,c)$ quindi $U_1=L<(a,b,c)>$
con $a,b,c$ noti(i calcoli non li ho fattti per a,b,c!).quindi vedi se $(1,2,0),(0,2,1),(a,b,c)$ sono L.I.

[mrpoint]

Si hai ragione,

rimane il mio dubbio però, se è $U_1$ contenuto in $U_2$ perchè devo verificare che sono i vettori di $U_2$ c.l. dei vettori di $U_1$ e non viceversa?

A rigor di logica se uno è contenuto nell'altro, quello che contiene oltre ad avere dimensione maggiore avrà vettori che sono generatori anche per ogni suo sottospazio e invece si fa l'esatto contrario.

Scusatemi se sono un po' duro.