Verifica sottospazio vettoriale

[SeraSan]

Dunque ho provato a svolgere il seguente esercizio però ho un dubbio riguardo l'intersezione tra i sottospazi.
Ho una base a= $ { a1,a2,a3,a4} $ ortogonale di V ed i seguenti sottospazi S e T :
S= $ {v*3a1=0 e v*a2=0 } $
T= $ { v*a2=0 e v*3a3=0} $

ora la dimensione di S dovrebbe essere 2 con base formata da a3 ed a4 e la dimensione di T pure due con base formata da a1 e a4.Per quanto riguarda l'intersezione a me viene che $ S nn T $ è di dimensione 1 e la sua base è composta dal vettore a1.

E' corretto?

[weblan]

Se ci fai caso $SnnT={vinV| v*2a_1=0, v*a_3=0, v*a_2=0}$ e quindi chi sarà questo sottospazio di dimensione $1$?

[SeraSan]

Sisi volevo dire a3 e a4.L'intersezione è quindi a4?

[weblan]

"SeraSan":Sisi volevo dire a3 e a4.L'intersezione è quindi a4?

Se usi la base canonica chiamando $a_1=(1,0,0,0), a_2=(0,1,0,0), a_3=(0,0,1,0), a_4=(0,0,0,1)$ ti redenderai subito conto di $S$ e $T$, $SnnT$ e $SuuT$.

[SeraSan]

Scusami,ho proprio sbagliato a scrivere il sottospazio S per questo ripetevo che fosse quella la base. il sotto spazio giusto è:
S= $ {v*3a1=0 e v*a2=0 } $ quindi appunto insistevo con il fatto che la base fosse composta da a3 ed a4,non perchè non mi fidassi.

[weblan]

A questo punto ti suggerisco di modificarlo all'inizio, così chi legge non si confonde, eventualmente correggo anche io i miei interventi adattandoli al nuovo testo.

[SeraSan]

Hai ragione.Ho corretto.A questo punto in ogni caso la base dell'intersezione rimane quella che hai detto tu e quindi a4.Mentre S+T penso sia a1,a3 e a4.

[weblan]

Va bene.

[SeraSan]

Grazie mille.^_^

[indovina]

"weblan":Se ci fai caso $SnnT={vinV| v*2a_1=0, v*a_3=0, v*a_2=0}$ e quindi chi sarà questo sottospazio di dimensione $1$?

Ciò che non riesco a capire è dove esca quel $v*2a_1=0$

[SeraSan]

quel v*2a1=0 in realtà è v*3a1=0.Quando avevo sbagliato il sottospazio S,avevo anche sbagliato a scrivere questo.

[indovina]

"SeraSan":Hai ragione.Ho corretto.A questo punto in ogni caso la base dell'intersezione rimane quella che hai detto tu e quindi a4.Mentre S+T penso sia a1,a3 e a4.

perchè quella di intersezione è $a_4$? Forse intendete proprio il vettore che non è presente nè in $S$ nè in $T$?

quello somma dovrebbe essere:
$v*3*a_1=0$
$v*a_2 =0$
$v*3*a_3=0$

?

[weblan]

"clever":[quote="SeraSan"]Hai ragione.Ho corretto.A questo punto in ogni caso la base dell'intersezione rimane quella che hai detto tu e quindi a4.Mentre S+T penso sia a1,a3 e a4.

perchè quella di intersezione è $a_4$? Forse intendete proprio il vettore che non è presente nè in $S$ nè in $T$?

quello somma dovrebbe essere:
$v*3*a_1=0$
$v*a_2 =0$
$v*3*a_3=0$

?[/quote]

Anche tu clever ti stai leggermente confondendo.

Io credo che in quest post si stia facendo un pochino di confusione, il testo dell'esercizio postato da SeraSan è il seguente (anche se inizialmente era leggermente diverso e poi corretto):

["SeraSan"]Dunque ho provato a svolgere il seguente esercizio però ho un dubbio riguardo l'intersezione tra i sottospazi.
Ho una base a= $ {a_1,a_2,a_3,a_4} $ ortogonale di $V$ ed i seguenti sottospazi $S$ e $T$ :
$S= {vinV| v*3a_1=0$ e $v*a_2=0 } $
$T= { vinV|v*a_2=0$ e $v*3a_3=0} $

La mia risposta:

In $S$ ci sono tutti i vettori di $V$ ortogonali a $a_1$ e $a_2$, quindi conclusione in relazione alla base assegnata: $S=$

In $T$ ci sono tutti i vettori di $V$ ortogonali a $a_2$ e $a_3$, quindi conclusione in relazione alla base assegnata: $T=$

In $SnnT$ ci sono tutti i vettori di $V$ ortogonali a $a_1$, $a_2$, $a_3$, quindi conclusione in relazione alla base assegnata: $SnnT=$

Evidente che $dimS=2$, evidente che $dimT=2$.

La dimensione del congiungente è $3$ (utilizzate anche la formula di Grassmann se volete), evidente che $S+T=$.

[SeraSan]

Perfetto,così esce anche a me.XD