Verifica sottospazio vettoriale

[GOPRO HERO4]

Ciao a tutti, devo risolvere questo esercizio ma non so bene come procedere.
Devo capire se l'equazione data è uno sottospazio di $ R^2 $
$ x={( (x), (y) ) R^2:x^2+y^2=1} $

Come faccio a capire se $ x^2+y^2=1 $ appartiene ad $ x $?

Grazie

[Shocker1]

"GOPRO HERO4":Ciao a tutti, devo risolvere questo esercizio ma non so bene come procedere.
Devo capire se l'equazione data è uno sottospazio di $ R^2 $
$ x={( (x), (y) ) R^2:x^2+y^2=1} $

Come faccio a capire se $ x^2+y^2=1 $ appartiene ad $ x $?

Grazie

Ciao

No aspetta, $x^2 + y^2 = 1$ è la condizione per cui un vettore di $\mathbb{R^2}$ appartiene ad $X$, cioè $( (x), (y) ) \in X \iff x^2 + y^2 = 1$.

Inizia col controllare se il vettore nullo appartiene a $X$.

[GOPRO HERO4]

Il vettore nullo se non sbaglio non appartiene a $ x $, perchè se vado a sostituire lo zero nell'equazione mi risulterebbe $ 0 + 0 = 1 $, quindi non è verificata. Giusto?

[Shocker1]

"GOPRO HERO4":Il vettore nullo se non sbaglio non appartiene a $ x $, perchè se vado a sostituire lo zero nell'equazione mi risulterebbe $ 0 + 0 = 1 $, quindi non è verificata. Giusto?

Giusto, quindi $X$ non è un sottospazio vettoriale di $R^2$ perché non possiede il vettore nullo.

[GOPRO HERO4]

Se volessi continuare a vedere se la somma appartiene a $ x $ (solo per esercitarmi), dovrei imporre $ (x1+x2)^2+(y1+y2)^2=1 $ cioè $ (x1+y1)^2+(x2+y2)^2=1 $. So che $ xx^2+y^2=1 $ quindi otterrei $ 1+1=1 $ cioè $ 2!=1 $ . Quindi non è verificata. Giusto?

(con $ x1 $ e $ y1 $ intendo $ x $ con pedice $ 1 $ o $ 2 $)

[Shocker1]

"GOPRO HERO4":Se volessi continuare a vedere se la somma appartiene a $ x $ (solo per esercitarmi), dovrei imporre $ (x1+x2)^2+(y1+y2)^2=1 $ cioè $ (x1+y1)^2+(x2+y2)^2=1 $. So che $ xx^2+y^2=1 $ quindi otterrei $ 1+1=1 $ cioè $ 2!=1 $ . Quindi non è verificata. Giusto?

(con $ x1 $ e $ y1 $ intendo $ x $ con pedice $ 1 $ o $ 2 $)

Ciao

Qui in realtà basterebbe fornire un controesempio con $( (1), (0)), ((0), (1))$, infatti la loro somma non appartiene a $X$.

Comunque sviluppando meglio il tuo tentativo: sai che $( (x_1), (x_2)), ( (y_1), (y_2)) \in X$ e devi dimostrare che $( (x_1), (x_2)) + ( (y_1), (y_2)) = ( (x_1 + y_1), (x_2 + y_2)) \in X$; se la somma appartiene ad $X$ allora $(x_1 + y_1)^2 + (x_2 + y_2)^2 = 1 \iff x_1^2 + 2x_1y_1 + y_1^2 + x_2^2 + 2x_2y_2 + y_2^2 = 1$ ovvero $(x_1^2 + x2^2) + 2(x_1y_1+x_2y_2) + (y_1^2 + y_2^2) = 1 \iff 1+2(x_1y_1+x_2y_2)+1 = 1 \iff 2(x_1y_1+x_2y_2)+1 = 0 \iff x_1y_1+x_2y_2 = -\frac{1}{2} $, questa condizione però non è vera per ogni $((x_1), (x_2)), ((y_1), (y_2)) \in X$(trova un controesempio!) e quindi $X$ non è chiuso rispetto alla somma.