Verifica sottospazio vettoriale
Questa domanda l'avranno fatta in migliaia inoltre ho provato a cercare sul web qualcosa che mi spiegasse , più che altro concettualmente, come verificare se un sottoinsieme di $ mathbb(R)^n $ è un sottospazio vettoriale ma non sono riuscito a comprendere.
La prima condizione è che il sottospazio non sia vuoto, quindi dimostrare l'esistenza del vettore nullo, e qui basta verificare che sostituendo le variabili dell'equazione che ci viene fornita il valore 0 l'equazione risulti verificata.
Le regole 2 e 3 del per la dimostrazione non mi sono molto chiare.
Se io stabilisco che 2 vettori ( con dimensione pari a n ) appartengono al sottospazio vettoriale come posso verificare che anche la loro somma appartenga al sottospazio vettoriale?
Guardando il meccanismo in alcuni esercizi vedo che se n = 3 vengono stabiliti 2 vettori, mettiamo $ ul(v_1) = (a,b,c) $ e $ ul(v_2) = (d,e,f) $, sostituiscono i valori di questi due vettori alle incognite dell'equazione e fanno si che la loro somma sia = 0. Questo procedimento mi sembra molto meccanico e non riesco a capire in termini logici cosa viene fatto, ad esempio perchè la loro somma fa 0? Probabilmente mi manca qualche concetto, non so. Mi appello a voi, spero in un aiuto.
Grazie in anticipo per le risposte.
La prima condizione è che il sottospazio non sia vuoto, quindi dimostrare l'esistenza del vettore nullo, e qui basta verificare che sostituendo le variabili dell'equazione che ci viene fornita il valore 0 l'equazione risulti verificata.
Le regole 2 e 3 del per la dimostrazione non mi sono molto chiare.
Se io stabilisco che 2 vettori ( con dimensione pari a n ) appartengono al sottospazio vettoriale come posso verificare che anche la loro somma appartenga al sottospazio vettoriale?
Guardando il meccanismo in alcuni esercizi vedo che se n = 3 vengono stabiliti 2 vettori, mettiamo $ ul(v_1) = (a,b,c) $ e $ ul(v_2) = (d,e,f) $, sostituiscono i valori di questi due vettori alle incognite dell'equazione e fanno si che la loro somma sia = 0. Questo procedimento mi sembra molto meccanico e non riesco a capire in termini logici cosa viene fatto, ad esempio perchè la loro somma fa 0? Probabilmente mi manca qualche concetto, non so. Mi appello a voi, spero in un aiuto.
Grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Logicamente, ciò che devi fare risulta relativamente semplice.
Devi - innanzitutto - verificare che il vettore nullo appartenga al sottospazio.
Cioè il vettore $0$ deve verificare le condizioni assegnate per il "potenziale" sottospazio.
Tutti gli spazi - o sottospazi - vettoriali devono includere il vettore $0$.
Altrimenti, non sono spazi vettoriali!
Ciò fatto, devi solo verificare la chiusura. Cioè la generica combinazione lineare di due
generici vettori appartenenti al sottospazio deve ancora appartenere al sottospazio.
Cioè deve verificare le condizioni cui sottostanno singolarmente i vettori.
Se la combinazione lineare di due generici vettori dell'insieme di cui devi verificare se costituisca un sottospazio
non appartiene al sottospazio, la chiusura non risulta verificata e, quindi, non si tratta di sottospazio.
Può esserci qualche minima difficoltà di computo, ma la logica della verifica è davvero semplice e
deve risultarti molto chiara. Altrimenti, ti imbarchi a svolgere calcoli che possono anche avere scarso significato,
se ti sfugge l'essenziale della definizione di cui ti è richiesta la verifica.
La logica esposta, ovviamente, vale qualunque siano le dimensioni.
Devi - innanzitutto - verificare che il vettore nullo appartenga al sottospazio.
Cioè il vettore $0$ deve verificare le condizioni assegnate per il "potenziale" sottospazio.
Tutti gli spazi - o sottospazi - vettoriali devono includere il vettore $0$.
Altrimenti, non sono spazi vettoriali!
Ciò fatto, devi solo verificare la chiusura. Cioè la generica combinazione lineare di due
generici vettori appartenenti al sottospazio deve ancora appartenere al sottospazio.
Cioè deve verificare le condizioni cui sottostanno singolarmente i vettori.
Se la combinazione lineare di due generici vettori dell'insieme di cui devi verificare se costituisca un sottospazio
non appartiene al sottospazio, la chiusura non risulta verificata e, quindi, non si tratta di sottospazio.
Può esserci qualche minima difficoltà di computo, ma la logica della verifica è davvero semplice e
deve risultarti molto chiara. Altrimenti, ti imbarchi a svolgere calcoli che possono anche avere scarso significato,
se ti sfugge l'essenziale della definizione di cui ti è richiesta la verifica.
La logica esposta, ovviamente, vale qualunque siano le dimensioni.
A me è stato consigliato di verificare un sottospazio vettoriale con le tre regole e non con due ( anche se piu o meno è la stessa cosa) e sinceramente preferisco cosi. Quindi tralasciando la combinazione lineare non mi risulta chiaro, come ho specificato all'apertura di questo topic il ragionamento che mi porta ad verificare la seconda condizione. Una volta appreso la seconda regola non mi dovrebbe essere difficile capire come verificare la terza regola , ovvero dato uno scalare t reale verificare che il prodotto per uno scalare sia appartenete al sottospazio vettoriale.
Ok cerco di essere più chiaro con un esempio.
Devo verificare questo sottospazio vettoriale
$ V = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 // 2x-3y+5z=0} $
1- Verifico che $V$ non è vuoto cioè verifico l'esistenza del vettore $ ul(0) $.
Sostituisco $0$ alle variabili $x$ , $y$ e $z$ e ottengo $2*0-3*0+5*0 = ul(0)$ quindi la prima condizione è verificata.
2- Verifico che dati due vettori $ul(v)_1$ e $ul(v)_2 \in V$ allora anche la loro somma $ul(v)_1+ul(v)_2 \in V$.
Per prima cosa definisco 2 vettori composti da tre elementi visto che lo spazio è a 3 dimensioni:
$ul(v)_1=(a;b;c)$
$ul(v)_2=(d;e;f)$
Ora "meccanicamente" eseguo questi passaggi:
-eseguo la somma tra i vettori che risulterà $ul(v)_1+ul(v)_2 = (a+d ; b+e ; c+f)$
-sostituisco nell'equazione con $x = a+d , y = b+e , z = c+f$ quindi $2a-3b+5c+2d-3e+5f = 0$
-ora pongo sempre meccanicamente (ergo "lo faccio ma non so il perchè") $2a-3b+5c$+$2d-3e+5f$=$0$+$0$=$0$
e dico che è verificata.
Cosi facendo magari riesco a fare gli esercizi ma se qualcuno mi chiedesse di spiegarli che caspita sto facendo teoricamente non saprei cosa dire. Ripeto probabilmente ho perso per strada qualche concetto per capire chiaramente quello che faccio.
Ad esempio l'equazione che mi viene fornita $ 2x-3y+5z=0 $ cosa rappresenterebbe ? Un vettore ? Non credo. Spero di essere stato più chiaro.
Devo verificare questo sottospazio vettoriale
$ V = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 // 2x-3y+5z=0} $
1- Verifico che $V$ non è vuoto cioè verifico l'esistenza del vettore $ ul(0) $.
Sostituisco $0$ alle variabili $x$ , $y$ e $z$ e ottengo $2*0-3*0+5*0 = ul(0)$ quindi la prima condizione è verificata.
2- Verifico che dati due vettori $ul(v)_1$ e $ul(v)_2 \in V$ allora anche la loro somma $ul(v)_1+ul(v)_2 \in V$.
Per prima cosa definisco 2 vettori composti da tre elementi visto che lo spazio è a 3 dimensioni:
$ul(v)_1=(a;b;c)$
$ul(v)_2=(d;e;f)$
Ora "meccanicamente" eseguo questi passaggi:
-eseguo la somma tra i vettori che risulterà $ul(v)_1+ul(v)_2 = (a+d ; b+e ; c+f)$
-sostituisco nell'equazione con $x = a+d , y = b+e , z = c+f$ quindi $2a-3b+5c+2d-3e+5f = 0$
-ora pongo sempre meccanicamente (ergo "lo faccio ma non so il perchè") $2a-3b+5c$+$2d-3e+5f$=$0$+$0$=$0$
e dico che è verificata.
Cosi facendo magari riesco a fare gli esercizi ma se qualcuno mi chiedesse di spiegarli che caspita sto facendo teoricamente non saprei cosa dire. Ripeto probabilmente ho perso per strada qualche concetto per capire chiaramente quello che faccio.
Ad esempio l'equazione che mi viene fornita $ 2x-3y+5z=0 $ cosa rappresenterebbe ? Un vettore ? Non credo. Spero di essere stato più chiaro.
Tu hai semplicemente effettuato la verifica con una particolare combinazione lineare in cui $\alpha = 1$ e $\beta = 1$. Se tu avessi usato $\alpha$ e $\beta$ generici avresti effettuato la vera verifica che va fatta.
A che cosa corrisponde la "condizione/equazione" data. A un piano passante per l'origine. Si vede a occhio che si tratta di una condizione lineare. Infatti, manca il termine noto. Tutti i piani e le rette passanti per l'origine costituiscono sottospazi vettoriali. Se tu avessi qualsiasi piano parallelo a quello dato, già non riusciresti a verificare la I condizione, perché - a causa del termine noto nell'equazione - il vettore nullo non la soddisfarebbe. E dovresti ricorrere al concetto di affinità, non più solo di spazi vettoriali. L'esercizio verifica che il piano dato passa per l'origine e che qualsiasi combinazione lineare di vettori appartenenti a quel piano giace ancora sul piano dato. Tutto qui.
A che cosa corrisponde la "condizione/equazione" data. A un piano passante per l'origine. Si vede a occhio che si tratta di una condizione lineare. Infatti, manca il termine noto. Tutti i piani e le rette passanti per l'origine costituiscono sottospazi vettoriali. Se tu avessi qualsiasi piano parallelo a quello dato, già non riusciresti a verificare la I condizione, perché - a causa del termine noto nell'equazione - il vettore nullo non la soddisfarebbe. E dovresti ricorrere al concetto di affinità, non più solo di spazi vettoriali. L'esercizio verifica che il piano dato passa per l'origine e che qualsiasi combinazione lineare di vettori appartenenti a quel piano giace ancora sul piano dato. Tutto qui.
L'equazione che ti viene fornita è una specie di "vincolo" che devono soddisfare i vettori del sottospazio. Se non ci fosse quel vincolo tu avresti libera scelta su ogni coordinata di ogni vettore e quindi avresti sempre lo spazio $RR^3$.
Il vincolo ti permette di selezionare una parte di vettori di $RR^3$, ma non è detto che sia un sottospazio, questo insieme che selezioni tramite quel vincolo.
Nel tuo caso, il vincolo $2x−3y+5z=0$ ti dice che ogni vettore dell'insieme che stai costruendo ha come prima coordinata la metà della differenza tra il triplo della seconda coordinata e il quintuplo della terza, questo perché da quella equazione ottieni che $2x=3y-5z$.
Ora, come hai detto tu, per dimostrare che quell'insieme $V$ descritto da quel vincolo sia un sottospazio, devi prendere due vettori $v_1$ e $v_2$ in $V$ e vedere se la loro somma sia ancora in $V$.
Ora, se $v1=(a,b,c)$ deve stare in $V$, questo significa che le sue coordinate devono soddisfare quel vincolo, e cioè dev'essere che $2a-3b+5c=0$. Idem per il vettore $v_2=(e, f, g)$ da cui ottieni che $2e-3f+5g=0$
Ora hai che sono vere queste due equazioni:
$2a-3b+5c=0$
$2e-3f+5g=0$
Sommando termine a termine queste due equazioni ottieni che è anche vero che: $2(a+e)-3(b+f)+5(c+g)=0$ (1).
Ma cosa sta accadendo al vettore somma $v_1 +v_2$?
Ovviamente $v_1 +v_2=(a, b, c) + (e, f, g)=(a+e, b+f, c+g)$. Ora per vedere se questo vettore sta ancora in $V$ dovresti verificare che le sue componenti soddisfano il vincolo $2x−3y+5z=0$, ma questo è proprio vero, per la (1).
Il vincolo ti permette di selezionare una parte di vettori di $RR^3$, ma non è detto che sia un sottospazio, questo insieme che selezioni tramite quel vincolo.
Nel tuo caso, il vincolo $2x−3y+5z=0$ ti dice che ogni vettore dell'insieme che stai costruendo ha come prima coordinata la metà della differenza tra il triplo della seconda coordinata e il quintuplo della terza, questo perché da quella equazione ottieni che $2x=3y-5z$.
Ora, come hai detto tu, per dimostrare che quell'insieme $V$ descritto da quel vincolo sia un sottospazio, devi prendere due vettori $v_1$ e $v_2$ in $V$ e vedere se la loro somma sia ancora in $V$.
Ora, se $v1=(a,b,c)$ deve stare in $V$, questo significa che le sue coordinate devono soddisfare quel vincolo, e cioè dev'essere che $2a-3b+5c=0$. Idem per il vettore $v_2=(e, f, g)$ da cui ottieni che $2e-3f+5g=0$
Ora hai che sono vere queste due equazioni:
$2a-3b+5c=0$
$2e-3f+5g=0$
Sommando termine a termine queste due equazioni ottieni che è anche vero che: $2(a+e)-3(b+f)+5(c+g)=0$ (1).
Ma cosa sta accadendo al vettore somma $v_1 +v_2$?
Ovviamente $v_1 +v_2=(a, b, c) + (e, f, g)=(a+e, b+f, c+g)$. Ora per vedere se questo vettore sta ancora in $V$ dovresti verificare che le sue componenti soddisfano il vincolo $2x−3y+5z=0$, ma questo è proprio vero, per la (1).
Finalmente ho capito. Grazie mille a tutti.
Ora ho 2 piccole curiosità.
1 - riguardo a questa affermazione:
E' anche vero sempre il contrario? Cioè se l'equazione non è di primo grado o presenta termini noti, in poche parole non sono lineari e/o omogenee ? Se cosi fosse posso stabilire in anticipo,in tutti i casi, se $V$ è o non è un sottospazio vettoriale senza effettuare la verifica.
2 - Se mi vengono fornite più di un'equazione ? Confermate che vengono effettuale le verifiche per ogni equazione e basta che solo una non sia verificata per affermare che $V$ non è un sottospazio vettoriale (viceversa se tutte le equazioni sono verificate allora $V$ è un sottospazio vettoriale)?
Ora ho 2 piccole curiosità.
1 - riguardo a questa affermazione:
"Sergio":
Il "problema" è infatti che se l'equazione che definisce \(V\) presenta tutti termini di primo grado (nessuna potenza con esponente diverso da 1, niente "termini noti"), \(V\) è sempre un sottospazio vettoriale e non c'è in realtà proprio nulla da verificare.
.
E' anche vero sempre il contrario? Cioè se l'equazione non è di primo grado o presenta termini noti, in poche parole non sono lineari e/o omogenee ? Se cosi fosse posso stabilire in anticipo,in tutti i casi, se $V$ è o non è un sottospazio vettoriale senza effettuare la verifica.
2 - Se mi vengono fornite più di un'equazione ? Confermate che vengono effettuale le verifiche per ogni equazione e basta che solo una non sia verificata per affermare che $V$ non è un sottospazio vettoriale (viceversa se tutte le equazioni sono verificate allora $V$ è un sottospazio vettoriale)?
E beh certo. Grazie allora 
"Sergio":
[quote="ezio1400"]Ora "meccanicamente" eseguo questi passaggi:
-eseguo la somma tra i vettori che risulterà $ul(v)_1+ul(v)_2 = (a+d ; b+e ; c+f)$
-sostituisco nell'equazione con $x = a+d , y = b+e , z = c+f$ quindi $2a-3b+5c+2d-3e+5f = 0$
-ora pongo sempre meccanicamente (ergo "lo faccio ma non so il perchè") $2a-3b+5c$+$2d-3e+5f$=$0$+$0$=$0$
e dico che è verificata.
Riscrivo i passaggi:
a) Ho due vettori \(v_1=(a,b,c)\) e \(v_2=(d,e,f)\). Perché appartengano a \(V\) deve risultare \(2a-3b+5c=0\) e \(2d-3e+5f=0\) (semplice applicazione della definizione di \(V\)).
b) Considero la loro somma \(v_1+v_2=(a+d,\;b+e,\;c+f)\). Perché appartenga a \(V\) deve risultare \(2(a+d)-3(b+e)+5(c+f)=0\) (semplice applicazione della definizione di somma di due vettori).
c) Poiché \(2(a+d)-3(b+e)+5(c+f)=(2a-3b+5c)+(2d-3e+5f)=0+0=0\), la condizione è verificata: \(V\) è chiuso rispetto alla somma di vettori (semplice applicazione delle proprietà distributiva e associativa).
E poi, cosiderando la moltiplicazione per uno scalare \(k\):
b) \(kv_1=(ka,kb,kc)\). Deve risultare: \(2ka-3kb+5kc=0\).
c) Poiché \(2ka-3kb+5kc=k(2a-3b+5c)=k0=0\) la condizione è verificata.
È molto semplice, forse troppo. E forse è priorio perché è troppo semplice che ti sconcerta un po'.
Il "problema" è infatti che se l'equazione che definisce \(V\) presenta tutti termini di primo grado (nessuna potenza con esponente diverso da 1, niente "termini noti"), \(V\) è sempre un sottospazio vettoriale e non c'è in realtà proprio nulla da verificare.
Ti propongo due controesempi.
1. \(V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:2x-3y+5z+6=0\}\).
Contiene il vettore nullo? Ovviamente no. Fine.
2. \(V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2-3y+5z=0\}\).
Contiene il vettore nullo? Ovviamente sì.
È chiuso rispetto alla somma di vettori? No. Infatti:
a) \(v_1=(a,b,c)\) e \(v_2=(d,e,f)\), con \(a^2-3b+5c=0\) e \(d^2-3e+5f=0\).
b) La somma è: \(v_1+v_2=(a+d,\;b+e,\;c+f)\), la condizione diventa \((a+d)^2-3(b+e)+5(c+f)=0\).
c) Si ha \(a^2+2ad+d^2-3b-3e+5c+5f=(a^2-3b+5c)+2ad+(d^2-3e+5f)=0+2ad+0=2ad\ne 0\). La condizione non è verificata.
I controesempi confermano che se \(V\subset\mathbb{R}^3\) è definito da un'equazione del tipo \(\alpha x+\beta y+\gamma z=0\) è sempre un sottospazio vettoriale.[/quote]
Al punto b c'è un errore, la somma dei vettori non é il quadrato della somma a+d, ma la somma dei quadrati.
No, al pto b) non c'è nessun errore. Posto $v_1 = (x_11,x_12,x_13)$ e $v_2 = (x_21,x_22, x_23)$, va semplicemente calcolato il quadrato della prima coordinata della combinazione lineare, che è $v_3 = \alphav_1 + \betav_2 = (\alphax_11 + \betax_21, \alphax_12 + \betax_22,\alphax_13 + \betax_23)$ e, se $\alpha = 1$ e $\beta = 1$, ciò si riduce al quadrato della somma delle due prime coordinate dei due vettori. Infatti, $v_31 = \alphax_11 + \betax_21$ e, quindi, in generale, $(alphax_11 + \betax_21)^2$. Ma, se $\alpha = 1$ e $\beta = 1$, si avrà $(x_11 + x_21)^2$. Se $x_11 = a$ e $x_21 = d$, allora $(x_11 + x_21)^2 = (a+d)^2 = a^2 +2ad + d^2$.
"ROMA91":
No, al pto b) non c'è nessun errore. Posto $v_1 = (x_11,x_12,x_13)$ e $v_2 = (x_21,x_22, x_23)$, va semplicemente calcolato il quadrato della prima coordinata della combinazione lineare, che è $v_3 = \alphav_1 + \betav_2 = (\alphax_11 + \betax_21, \alphax_12 + \betax_22,\alphax_13 + \betax_23)$ e, se $\alpha = 1$ e $\beta = 1$, ciò si riduce al quadrato della somma delle due prime coordinate dei due vettori. Infatti, $v_31 = \alphax_11 + \betax_21$ e, quindi, in generale, $(alphax_11 + \betax_21)^2$. Ma, se $\alpha = 1$ e $\beta = 1$, si avrà $(x_11 + x_21)^2$. Se $x_11 = a$ e $x_21 = d$, allora $(x_11 + x_21)^2 = (a+d)^2 = a^2 +2ad + d^2$.
Si sì hai ragione, ero stanco ieri, é chiarissimo, complimenti per tutti gli interventi, interessanti.
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