Verifica Sottospazi di R4
Salve a tutti, innanzitutto ci tengo a ringraziare chiunque, in qualche modo, mi dedicherà del tempo per questo genere di esercizi! (Questo mese ho l'esame SIGH!)
"Dire quali valori di k sono sottospazi i seguenti sottoinsiemi di $R^4$ e in tal caso determinarne una base:
W1= L{$((1),(0),(1),(0))$,$((0),(2),(2),(K))$,$((1),(-1),(0),(1))$} con L si intende lo spazio generato da i vettori all'interno { }
W2={(x,y,z,t) : k$x^2$+2y-t=0}
W3=(x,y,z,t) : x+3y+z=k ; kx+y-z=0 ; kx+z=0"
Se riuscite a risolverlo, cercando di farmi capire quello che fate vi ringrazio il triplo
! Grazie anticipate!
"Dire quali valori di k sono sottospazi i seguenti sottoinsiemi di $R^4$ e in tal caso determinarne una base:
W1= L{$((1),(0),(1),(0))$,$((0),(2),(2),(K))$,$((1),(-1),(0),(1))$} con L si intende lo spazio generato da i vettori all'interno { }
W2={(x,y,z,t) : k$x^2$+2y-t=0}
W3=(x,y,z,t) : x+3y+z=k ; kx+y-z=0 ; kx+z=0"
Se riuscite a risolverlo, cercando di farmi capire quello che fate vi ringrazio il triplo
! Grazie anticipate!
Risposte
Idee tue? La logica del forum è di aiutare chi pone almeno delle idee su cosa fare. Ad esempio, tu devi verificare quali tra i $W_i$ siano sottospazi. Ora: conosci la definizione (e anche la caratterizzazione) di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale dato?
Si, viene detto spazio vettoriale uno spazio definito da due proprietà:
1) presi due vettori w1 e w1 abbiamo che w1+w2 appartenga ad esso
2) preso w1 e uno scalare a, abbiamo che aw1 appartenga ad esso
Il problema è che non so come procedere...
1) presi due vettori w1 e w1 abbiamo che w1+w2 appartenga ad esso
2) preso w1 e uno scalare a, abbiamo che aw1 appartenga ad esso
Il problema è che non so come procedere...
Questa è la definizione. Quando devi verificare, è utile usare la caratterizzazione seguente
"Sia $W\subset V$ un sottoinsieme dello spazio vettoriale $V$ sul campo $\mathbb{K}$. $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se, per ogni coppia di vettori $w_1, w_2\in W$ e per ogni coppia di scalari $\alpha,\beta\in \mathbb{K}$ si ha $\alpha w_1+\beta w_2\in W$."
"Sia $W\subset V$ un sottoinsieme dello spazio vettoriale $V$ sul campo $\mathbb{K}$. $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se, per ogni coppia di vettori $w_1, w_2\in W$ e per ogni coppia di scalari $\alpha,\beta\in \mathbb{K}$ si ha $\alpha w_1+\beta w_2\in W$."
Perfetto, fin qui ci sono, grazie intanto. Il mio problema è non sapere come procedere in quei casi 
come trovo i valori di k?
come trovo i valori di k?
Per prima cosa, cerca di capire come sono fatti i vettori di questi insiemi (magari determinando le basi). A quel punto, prova ad applicare la caratterizzazione che ti ho detto.
Intanto vediamo se ragiono bene, ho provato a trovarmi gli insiemi, come mi hai chiesto tu.
W1
Sappiamo che questo sottospazio è costituito dai vettori generatori $((1),(0),(1),(0))$,$((0),(2),(2),(K))$,$((1),(-1),(0),(1))$. Quindi provo ad effettuare la combinazione lineare e mi trovo che :
x$((1),(0),(1),(0))$+y$((0),(2),(2),(K))$+z$((1),(-1),(0),(1))$
allora
$((x+z),(2y-z),(x+2y),(yk+z))$
W2
Semplicemente come dato dal testo pongo t=k$x^2$+2y quindi $((x),(y),(z),(k$x^2$+2y))$
W3
Qui faccio il sistema
$\{(x + 3y + z = k),(kx + y - z = 0),(kx + z = 0):}$ da cui ricavo, mettendo tutto in funzione di x $((x),(-x+kx+k),(-kx),(t))$
Ho scritto solo corbellerie xD??
W1
Sappiamo che questo sottospazio è costituito dai vettori generatori $((1),(0),(1),(0))$,$((0),(2),(2),(K))$,$((1),(-1),(0),(1))$. Quindi provo ad effettuare la combinazione lineare e mi trovo che :
x$((1),(0),(1),(0))$+y$((0),(2),(2),(K))$+z$((1),(-1),(0),(1))$
allora
$((x+z),(2y-z),(x+2y),(yk+z))$
W2
Semplicemente come dato dal testo pongo t=k$x^2$+2y quindi $((x),(y),(z),(k$x^2$+2y))$
W3
Qui faccio il sistema
$\{(x + 3y + z = k),(kx + y - z = 0),(kx + z = 0):}$ da cui ricavo, mettendo tutto in funzione di x $((x),(-x+kx+k),(-kx),(t))$
Ho scritto solo corbellerie xD??
Fin qui ci siamo. Ora la questione è la seguente: se prendi due qualsiasi vettori di uno di questi spazi e due scalari e fai una combinazione lineare, otterrai ancora dei vettori in questi spazi? Tale scelta dipende da $k$?
Oh wow, allora so ragionare xD
Possiamo provare per passi così non mi perdo? Prendiamo il primo "possibile" sottospazio W1, di cui abbiamo detto è costituito da $((x+z),(2y-z),(x+2y),(yk+z))$
Prendiamo quindi
w'1, w''1 appartenenti a W e a,b appartenenti ai reali
Presi due vettori qualsiasi appartenenti a W e due scalari qualsiasi appartenenti ai reali, otteniamo che a(w')+b(w'') appartiene ancora a W?
$((ax+az),(a2y-az),(ax+a2y),(ayk+az))$+$((bx+bz),(b2y-bz),(bx+b2y),(byk+bz))$
Da cui si ottiene
$((ax+az+bx+bz),(a2y-az+b2y-bz),(ax+a2y+bx+b2y),(ayk+az+byk+bz))$
Ottenendo infine
$(((a+b)(x+z)),((a+b)(2y-z)),((a+b)(x+2y)),((a+b)(yk+z)))$
Che appartiene a W1 e quindi è un Sottospazio? In questo caso, avendo (a+b)(yk+z) sarebbe per k$!=$0?
Possiamo provare per passi così non mi perdo? Prendiamo il primo "possibile" sottospazio W1, di cui abbiamo detto è costituito da $((x+z),(2y-z),(x+2y),(yk+z))$
Prendiamo quindi
w'1, w''1 appartenenti a W e a,b appartenenti ai reali
Presi due vettori qualsiasi appartenenti a W e due scalari qualsiasi appartenenti ai reali, otteniamo che a(w')+b(w'') appartiene ancora a W?
$((ax+az),(a2y-az),(ax+a2y),(ayk+az))$+$((bx+bz),(b2y-bz),(bx+b2y),(byk+bz))$
Da cui si ottiene
$((ax+az+bx+bz),(a2y-az+b2y-bz),(ax+a2y+bx+b2y),(ayk+az+byk+bz))$
Ottenendo infine
$(((a+b)(x+z)),((a+b)(2y-z)),((a+b)(x+2y)),((a+b)(yk+z)))$
Che appartiene a W1 e quindi è un Sottospazio? In questo caso, avendo (a+b)(yk+z) sarebbe per k$!=$0?
Ehm c'è qualcuno :\?
Scusa, m'ero perso! 
Sì, il primo è corretto, ma osserva che vanno bene tutti i valori di $k$, in quanto alla fine il vettre che ottieni è multiplo di quello "generico".
Prova adesso con gli altri due.
Sì, il primo è corretto, ma osserva che vanno bene tutti i valori di $k$, in quanto alla fine il vettre che ottieni è multiplo di quello "generico".
Prova adesso con gli altri due.
Ok va bene, giusto!
Proseguo con W2 e W3
W2 è costituito dai sottospazi nella forma $((x),(y),(z),(k$x^2$+2y))$
Presi due vettori qualsiasi appartenenti a W2 e due scalari qualsiasi appartenenti ai reali, otteniamo che a(w')+b(w'') appartiene ancora a W2? Intanto vi osserviamo che il vettore nullo vi appartiene.
Prendiamo in considerazione w'2 e w''2
w'2=$((x),(y),(z),(k$x^2$+2y))$
w''2=$((x'),(y'),(z'),(k$x'^2$+2y'))$
e li moltiplichiamo per due scalari a e b
$((ax),(ay),(az),(ak$x^2$+a2y))$+$((bx'),(by'),(bz'),(bk$x'^2$+b2y'))$
da cui diventa $((ax+bx'),(ay+by'),(az+bz'),(ak$x^2$+a2y+bk$x'$+b2y'))$
E qui mi accorgo anche di un dubbio. In W1 avevo considerato w'1 e w''2 praticamente due vettori uguali..quindi era semplice raccogliere i valori, ma questi due vettori devono essere diversi, come dovrei procedere ora?
Proseguo con W2 e W3
W2 è costituito dai sottospazi nella forma $((x),(y),(z),(k$x^2$+2y))$
Presi due vettori qualsiasi appartenenti a W2 e due scalari qualsiasi appartenenti ai reali, otteniamo che a(w')+b(w'') appartiene ancora a W2? Intanto vi osserviamo che il vettore nullo vi appartiene.
Prendiamo in considerazione w'2 e w''2
w'2=$((x),(y),(z),(k$x^2$+2y))$
w''2=$((x'),(y'),(z'),(k$x'^2$+2y'))$
e li moltiplichiamo per due scalari a e b
$((ax),(ay),(az),(ak$x^2$+a2y))$+$((bx'),(by'),(bz'),(bk$x'^2$+b2y'))$
da cui diventa $((ax+bx'),(ay+by'),(az+bz'),(ak$x^2$+a2y+bk$x'$+b2y'))$
E qui mi accorgo anche di un dubbio. In W1 avevo considerato w'1 e w''2 praticamente due vettori uguali..quindi era semplice raccogliere i valori, ma questi due vettori devono essere diversi, come dovrei procedere ora?
Osservi che per stare in $W_2$ il vettore che hai ottenuto dovrebbe avere la forma $kX^2+2Y$ e ti accorgi che questa cosa può avvenire solo per una particolare scelta di $k$. Quale?
Considera che l'ultima componente puoi scriverla come
$k(ax^2+bx'^2)+2(ay+by')$
e che dovrebbe essere $ax^2+bx'^2$ un quadrato perfetto....
Considera che l'ultima componente puoi scriverla come
$k(ax^2+bx'^2)+2(ay+by')$
e che dovrebbe essere $ax^2+bx'^2$ un quadrato perfetto....
Non dovrebbe essere per K diverso da 0?
No, esattamente il contrario: quella cosa funziona solo se $k=0$. Perché?
Se noi poniamo k=0 avremo semplicemente 2(ay+by') ...e non capisco proprio il motivo uff
uff
Perche con $k=0$ hai una combinazione lineare, mentre con $k\ne 0$ si avrebbero dei quadrati che lineari non sono!
Aaaaah però non capisco la forma non dovrebbe essere comunque k(ax 2 +bx' 2 )+2(ay+by') ?
Sì, ma il problema è che dovresti avere anche che $(a+b)^2=a^2+b^2$ e ciò non è vero.
Aaaah ho capito, ora ci sono 
grazie milleeee per la disponibilità
grazie milleeee per la disponibilità
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