Verifica se un insieme è un spazio vettoriale
Domanda banale,ma mi serve per capire.
Se, nella verifica attesto che l'insieme W non contiene Ov mi fermo ed escludo che W sia uno spazio vettoriale.
Se,però, volessi egualmente verificarne la chiusura riaspetto alla somma ed al prodotto per uno scalare, dovrei comunque necessariamente ottenere la non chiusura?
Potrebbe esserci il caso in cui la chiusura (almeno una) sia verificata anche se l'insieme non contiene Ov?
Grazie
Se, nella verifica attesto che l'insieme W non contiene Ov mi fermo ed escludo che W sia uno spazio vettoriale.
Se,però, volessi egualmente verificarne la chiusura riaspetto alla somma ed al prodotto per uno scalare, dovrei comunque necessariamente ottenere la non chiusura?
Potrebbe esserci il caso in cui la chiusura (almeno una) sia verificata anche se l'insieme non contiene Ov?
Grazie
Risposte
Dipende da come definisci "somma" e "prodotto per scalare", nota le virgolette.
Non c'è scritto da nessuna parte nella definizione che somma equivale a "+" e prodotto per scalare equivale a "*".
In generale (dopo aver definito somma e prodotto a piacimento) se verifica queste proprietà (c'è anche l'esistenza del vettore nullo come puoi vedere):
Somma
\(\displaystyle \underline{v}\in V, \underline{w}\in V\Rightarrow (\underline{v}+\underline{w})\in V \)
\(\displaystyle \underline{v}+\underline{w}=\underline{w}+\underline{v} \)
\(\displaystyle \underline{u}+(\underline{v}+\underline{w})= (\underline{u}+\underline{v})+\underline{w} \)
\(\displaystyle \exists \underline{0}\in V | \underline{v}+\underline{0}=\underline{v} \)
\(\displaystyle \exists (-\underline{v})\in V | (-\underline{v})+\underline{v}=\underline{0} \)
Prodotto per scalare
\(\displaystyle \underline{v}\in V\Rightarrow \lambda \underline{v}\in V \)
\(\displaystyle \lambda (\underline{v}+\underline{w})=\lambda \underline{v}+\lambda \underline{w} \)
\(\displaystyle (\lambda + \mu) \underline{v}=\lambda \underline{v}+ \mu \underline{v} \)
\(\displaystyle \lambda (\mu \underline{v})=(\lambda \mu)\underline{v} \)
\(\displaystyle 1\underline{v}=\underline{v} \)
...allora è uno spazio vettoriale
Non c'è scritto da nessuna parte nella definizione che somma equivale a "+" e prodotto per scalare equivale a "*".
In generale (dopo aver definito somma e prodotto a piacimento) se verifica queste proprietà (c'è anche l'esistenza del vettore nullo come puoi vedere):
Somma
\(\displaystyle \underline{v}\in V, \underline{w}\in V\Rightarrow (\underline{v}+\underline{w})\in V \)
\(\displaystyle \underline{v}+\underline{w}=\underline{w}+\underline{v} \)
\(\displaystyle \underline{u}+(\underline{v}+\underline{w})= (\underline{u}+\underline{v})+\underline{w} \)
\(\displaystyle \exists \underline{0}\in V | \underline{v}+\underline{0}=\underline{v} \)
\(\displaystyle \exists (-\underline{v})\in V | (-\underline{v})+\underline{v}=\underline{0} \)
Prodotto per scalare
\(\displaystyle \underline{v}\in V\Rightarrow \lambda \underline{v}\in V \)
\(\displaystyle \lambda (\underline{v}+\underline{w})=\lambda \underline{v}+\lambda \underline{w} \)
\(\displaystyle (\lambda + \mu) \underline{v}=\lambda \underline{v}+ \mu \underline{v} \)
\(\displaystyle \lambda (\mu \underline{v})=(\lambda \mu)\underline{v} \)
\(\displaystyle 1\underline{v}=\underline{v} \)
...allora è uno spazio vettoriale
@vitus,
tu devi verificare se un insieme \(V \) è spazio vettoriale su un campo \( K \) rispetto ad una operazione interna, binaria e ovunque, definita in \( V \) e rispetto ad una operazioni esterna, binaria ad operatori in \( K \) e ovunque, definitia in \(V \), ergo devi vedere se soddisfa quelli che si chiamano "assiomi della struttura"... se vi è almeno un assioma non verificato allora nn è spazio vettoriale..
Saluti
P.S.=Se invece hai uno spazio vettoriale e devi vedere che un suo sottoinsieme non vuoto è sottospazio allora ti basta vedere che il sottoinsieme è chiuso rispetto all'operazione interna e all'operazione esterna, definite nello spazio vettoriale.. (o se ti vuoi complicare la vita potresti verificare se il sottoinsieme è spazio vettoriale rispetto alle restrizioni delle operazioni, definite nello spazio vettoriale, al sottoinsieme, ma così facendo è davvero poco utile
)
"vitus":
Domanda banale,ma mi serve per capire.
Se, nella verifica attesto che l'insieme W non contiene Ov mi fermo ed escludo che W sia uno spazio vettoriale.
Se,però, volessi egualmente verificarne la chiusura riaspetto alla somma ed al prodotto per uno scalare, dovrei comunque necessariamente ottenere la non chiusura?
Potrebbe esserci il caso in cui la chiusura (almeno una) sia verificata anche se l'insieme non contiene Ov?
Grazie
tu devi verificare se un insieme \(V \) è spazio vettoriale su un campo \( K \) rispetto ad una operazione interna, binaria e ovunque, definita in \( V \) e rispetto ad una operazioni esterna, binaria ad operatori in \( K \) e ovunque, definitia in \(V \), ergo devi vedere se soddisfa quelli che si chiamano "assiomi della struttura"... se vi è almeno un assioma non verificato allora nn è spazio vettoriale..
Saluti
P.S.=Se invece hai uno spazio vettoriale e devi vedere che un suo sottoinsieme non vuoto è sottospazio allora ti basta vedere che il sottoinsieme è chiuso rispetto all'operazione interna e all'operazione esterna, definite nello spazio vettoriale.. (o se ti vuoi complicare la vita potresti verificare se il sottoinsieme è spazio vettoriale rispetto alle restrizioni delle operazioni, definite nello spazio vettoriale, al sottoinsieme, ma così facendo è davvero poco utile
)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo