Verifica matrice passaggio di base
Ciao a tutti.
Devo verificare che la matrice $P=( ( 6 , 1 , 3 ),( -3 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) $ realizzi il passaggio di base da $\varepsilon=(\ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )\ )$ a $B=(\ ( ( 6 ),( -3 ),( 5 ) ) , ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) , ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )\ )$.
Allora verifico che per ogni vettore $\vec{u}=( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) ) in K^3$:
$P (\vec{u})_\varepsilon=(\vec{u})_B => ( ( 6 , 1 , 3 ),( -3 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_\varepsilon = ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_B=> ( ( 6 , 1 , 3 ),( -3 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) ) = ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_B=> ( ( 6u_1+u_2+3u_3 ),( -3u_1 ),( u_1+2u_2+u_3 ) ) = ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_B$
Poichè $( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_B= ( ( \lambda_1 ),( \lambda_2 ),( \lambda_3 ) ) = \lambda_1( ( 6 ),( -3 ),( 5 ) ) + \lambda_2 ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+\lambda_3( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )$, possiamo scrivere:
$ ( ( 6u_1+u_2+3u_3 ),( -3u_1 ),( u_1+2u_2+u_3 ) ) = ( ( \lambda_1 ),( \lambda_2 ),( \lambda_3 ) ) $.
Quindi dev'essere vero che:
$ (6u_1+u_2+3u_3 ) (( 6 ),( -3 ),( 5 )) + ( -3u_1 )(( 1 ),( 0 ),( 1 ))+( u_1+2u_2+u_3 )(( 3 ),( 0 ),( 1 ))=(( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ))$
Ovvero: $( ( 36u_1+6u_2+18u_3-3u_1+3u_1+6u_2+3u_3 ),( -18u_1-3u_2-9u_3 ),( 30u_1+5u_2+15u_3-3u_1+u_1+2u_2+u_3 ) ) =(( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ))$ , ma l'uguaglianza non è soddisfatta.
Ho sbagliato io a fare qualcosa o $P$ effettivamente non è la matrice di passaggio da $\varepsilon$ a $B$?
Grazie a chi risponderà!
Devo verificare che la matrice $P=( ( 6 , 1 , 3 ),( -3 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) $ realizzi il passaggio di base da $\varepsilon=(\ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )\ )$ a $B=(\ ( ( 6 ),( -3 ),( 5 ) ) , ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) , ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )\ )$.
Allora verifico che per ogni vettore $\vec{u}=( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) ) in K^3$:
$P (\vec{u})_\varepsilon=(\vec{u})_B => ( ( 6 , 1 , 3 ),( -3 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_\varepsilon = ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_B=> ( ( 6 , 1 , 3 ),( -3 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) ) = ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_B=> ( ( 6u_1+u_2+3u_3 ),( -3u_1 ),( u_1+2u_2+u_3 ) ) = ( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_B$
Poichè $( ( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ) )_B= ( ( \lambda_1 ),( \lambda_2 ),( \lambda_3 ) ) = \lambda_1( ( 6 ),( -3 ),( 5 ) ) + \lambda_2 ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+\lambda_3( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )$, possiamo scrivere:
$ ( ( 6u_1+u_2+3u_3 ),( -3u_1 ),( u_1+2u_2+u_3 ) ) = ( ( \lambda_1 ),( \lambda_2 ),( \lambda_3 ) ) $.
Quindi dev'essere vero che:
$ (6u_1+u_2+3u_3 ) (( 6 ),( -3 ),( 5 )) + ( -3u_1 )(( 1 ),( 0 ),( 1 ))+( u_1+2u_2+u_3 )(( 3 ),( 0 ),( 1 ))=(( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ))$
Ovvero: $( ( 36u_1+6u_2+18u_3-3u_1+3u_1+6u_2+3u_3 ),( -18u_1-3u_2-9u_3 ),( 30u_1+5u_2+15u_3-3u_1+u_1+2u_2+u_3 ) ) =(( u_1 ),( u_2 ),( u_3 ))$ , ma l'uguaglianza non è soddisfatta.
Ho sbagliato io a fare qualcosa o $P$ effettivamente non è la matrice di passaggio da $\varepsilon$ a $B$?
Grazie a chi risponderà!
Risposte
@sleax.
1° : consideri \( f \in \operatorname{End}_{\Bbb{R}}(\Bbb{R}^3)\) ove \( f\doteq \operatorname{id}_{\Bbb{R}^3}\), e avendo le due base per \( \Bbb{R}^3\) ti basta esplicitare la matrice associata ad \( f \), rispetto alla due basi, indicandola con \(\mathscr{M}_{\varepsilon,B}\), se \(\mathscr{M}_{\varepsilon,B}=P\) allora \(P \) realizza il passaggio di basi
2° : più semplice concettualmente del primo, ti crei una matrice \(M\in \mathfrak{M}_{3,3}(\Bbb{R})\) ove le colonne sono le coordinate dei vettori della base \( \varepsilon\) rispetto alla base \( B \), se \(M=P \) allora \( P \) realizza il passaggio di basi
In effetti calcolando le coordinate di \((1,0,0)\) rispetto alla base \( B \) ottengo, sperando di aver fatto bene i calcoli, \([(1,0,0)]_B=(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) che non è la prima colonna di \( P \).
Saluti
"sleax":non riesco a capire bene quello che hai fatto, se penso bene puoi impostare l'esercizio in una semplice verifica di uguaglianza tra la matrice \( P\) è quella associata al sistema di vettori, in questo caso base \(\varepsilon\), rispetto alla base \(B \). La matrice associata al sistema di vettori la puoi definire/calcolare moolto semplicemente in due modi:
Ciao a tutti.
Devo verificare che la matrice $P=( ( 6 , 1 , 3 ),( -3 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) $ realizzi il passaggio di base da $\varepsilon=(\ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )\ )$ a $B=(\ ( ( 6 ),( -3 ),( 5 ) ) , ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) , ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )\ )$.
1° : consideri \( f \in \operatorname{End}_{\Bbb{R}}(\Bbb{R}^3)\) ove \( f\doteq \operatorname{id}_{\Bbb{R}^3}\), e avendo le due base per \( \Bbb{R}^3\) ti basta esplicitare la matrice associata ad \( f \), rispetto alla due basi, indicandola con \(\mathscr{M}_{\varepsilon,B}\), se \(\mathscr{M}_{\varepsilon,B}=P\) allora \(P \) realizza il passaggio di basi
2° : più semplice concettualmente del primo, ti crei una matrice \(M\in \mathfrak{M}_{3,3}(\Bbb{R})\) ove le colonne sono le coordinate dei vettori della base \( \varepsilon\) rispetto alla base \( B \), se \(M=P \) allora \( P \) realizza il passaggio di basi
In effetti calcolando le coordinate di \((1,0,0)\) rispetto alla base \( B \) ottengo, sperando di aver fatto bene i calcoli, \([(1,0,0)]_B=(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) che non è la prima colonna di \( P \).
Saluti
Si, mi trovo come te. Quindi bisognerebbe dimostrare che $P$ è unica... 
mi dai una mano?
mi dai una mano?
@sleax,
che intendi? Puoi essere più preciso!
Saluti
"sleax":
Si, mi trovo come te. Quindi bisognerebbe dimostrare che $P$ è unica...
che intendi? Puoi essere più preciso!
Saluti
Intendo che bisognerebbe dimostrare che se esiste una matrice di passaggio da una base a un'altra, essa è unica.
EDIT: Scusami, è banalmente vero.
Grazie, come sempre!
EDIT: Scusami, è banalmente vero.
Grazie, come sempre!
Prego! Ciao
"sleax":
Ciao a tutti.
Devo verificare che la matrice $P=( ( 6 , 1 , 3 ),( -3 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) ) $ realizzi il passaggio di base da $\varepsilon=(\ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )\ )$ a $B=(\ ( ( 6 ),( -3 ),( 5 ) ) , ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) , ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )\ )$.
quello che avevano fatto imparare a me..era
Costruiamo la matrice per COLONNE..per costruire una matrice dalla base A alla base B, il metodo standard è quello di vedere come l'applicazione (nel tuo caso P) agisce sugli elementi della base A e di scrivere ciascun vettore trasformato come combinazione lineare degli elementi della base B.
In questo modo si ha la matrice $M_(A,B)$
se non ti è chiaro ti scrivo un esempio
e si, mentre che ci sei vorrei vedere anch'io.. 
eccovi un esempio
$ f: RR^2\to RR^3, f((x),(y))=((x+2y),(3y),(x-y)) $
determinare la matrice associata a f rispetto alle seguenti basi
a. le basi $B_1$ di $RR^2$ e di $B'_1$ di $RR^3$
$ B_1=\{((1),(0)),((1),(1))\}, B_1'=\{((1),(1),(0)),((0),(1),(1)),((0),(0),(1))\} $
$ f((1),(0))=((1),(0),(1))=a_(11)((1),(1),(0))+a_(21)((1),(0),(1))+a_(31)((0),(0),(1)) $
quindi si ha $ { ( a_(11)+a_21 =1),( a_(11)=0 ),( a_(21)+a_(31)=1 ):}\to .... \to { ( a_(11)=0 ),( a_(21)=1 ),( a_(31)=0 ):} $
e hai trovato la prima COLONNA della tua matrice..
svolgendo con lo stesso metodo otterrai questa matrice alla fine $ A_(B_1,B'_1)=( ( 0 , 3 ),( 1, 0 ),( 0 , 0 ) ) $
ovviamente è una $3 xx 2$.. visto che l'applicazione lineare va da $RR^2\to RR^3$
$ f: RR^2\to RR^3, f((x),(y))=((x+2y),(3y),(x-y)) $
determinare la matrice associata a f rispetto alle seguenti basi
a. le basi $B_1$ di $RR^2$ e di $B'_1$ di $RR^3$
$ B_1=\{((1),(0)),((1),(1))\}, B_1'=\{((1),(1),(0)),((0),(1),(1)),((0),(0),(1))\} $
$ f((1),(0))=((1),(0),(1))=a_(11)((1),(1),(0))+a_(21)((1),(0),(1))+a_(31)((0),(0),(1)) $
quindi si ha $ { ( a_(11)+a_21 =1),( a_(11)=0 ),( a_(21)+a_(31)=1 ):}\to .... \to { ( a_(11)=0 ),( a_(21)=1 ),( a_(31)=0 ):} $
e hai trovato la prima COLONNA della tua matrice..
svolgendo con lo stesso metodo otterrai questa matrice alla fine $ A_(B_1,B'_1)=( ( 0 , 3 ),( 1, 0 ),( 0 , 0 ) ) $
ovviamente è una $3 xx 2$.. visto che l'applicazione lineare va da $RR^2\to RR^3$
@21zuclo,
non vorrei creare confusione, il modo 1° da me scritto consistente nel calcolare la matrice associata all'omomorfismo \( f \), ma in generale il calcolo della matrice di passaggio non è questa matrice, ovvero lo è in particolare quando \( f \doteq \operatorname{id}_\Bbb{R}^3\).. Nei miei studi infatti, come avrai notato, la matrice che scrivi nel tuo esempio la conosco come "matrice associata ad \(f \) date le basi..."
Ciao
non vorrei creare confusione, il modo 1° da me scritto consistente nel calcolare la matrice associata all'omomorfismo \( f \), ma in generale il calcolo della matrice di passaggio non è questa matrice, ovvero lo è in particolare quando \( f \doteq \operatorname{id}_\Bbb{R}^3\).. Nei miei studi infatti, come avrai notato, la matrice che scrivi nel tuo esempio la conosco come "matrice associata ad \(f \) date le basi..."
Ciao
"garnak.olegovitc":
@21zuclo,
non vorrei creare confusione, il modo 1° da me scritto consistente nel calcolare la matrice associata all'omomorfismo \( f \), ma in generale il calcolo della matrice di passaggio non è questa matrice, ovvero lo è in particolare quando \( f \doteq \operatorname{id}_\Bbb{R}^3\).. Nei miei studi infatti, come avrai notato, la matrice che scrivi nel tuo esempio la conosco come "matrice associata ad \(f \) date le basi..."
Ciao
Ah ok la matrice di passaggio..
si il calcolo della matrice di passaggio, l'ho visto.. ma poi mi è stato detto che è più veloce quell'altro metodo..cioè quello che ho scritto io nel topic..
a ognuno la scelta del modo che preferisce
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