Verifica dimensione di sottospazi

CarfRip
Salve, l'esercizio in questione mi chiede se i due sottospazi $U = {((x), (y), (z)) in RR^3: x − 8z = 0}$ e $W = Span(3t+1, 3+t, 2t-2) sube RR_3[t]$ hanno stessa dimensione.
Dovrebbe essere una cavolata ma mi è sorto un dubbio.
In linea teorica dovrebbe essere chiaro che $dim(U)=1$, mentre al secondo sottospazio possiamo associare la matrice $M_W=((1, 3, -2), (3, 1, 2), (0, 0, 0))$ che ridotta a scala ci mostra come $dim(W)=2$, infatti $M_W=((1, 3, -2), (0, -8, 8), (0, 0, 0))$.
Il fatto è che, oltre a sembrarmi una soluzione troppo semplice, parliamo due sottospazi diversi, uno vettoriale e uno di polinomi, potete aiutarmi a ragionare? :cry: Sono alle prime armi quindi se volete insultatemi

Risposte
Magma1
"CarfRip":
$U = { x,y,z in RR : qquad x − 8z = 0}$


In linea teorica dovrebbe essere chiaro che $dim(U)=1$

Io tutta questa chiarezza non la vedo [-X [-(

CarfRip
"Magma":

Io tutta questa chiarezza non la vedo [-X [-(


A volte vado troppo di fretta :smt012 Dunque, $dim(U)=dim(RR^3)-($numero di equazioni omogenee linearmente dipendenti$)$, quindi nel mio caso $dim(U)=2$, la verifica per W è corretta?
Grazie per la pazienza :-D

Magma1
Dato un sistema lineare omogeneo $nxxm$ in $m$ incognite
$AX=bar0$

con
$r(A)
si hanno
$oo^(m-r(A)$ soluzioni

CarfRip
Scusami ma non riesco a capire il nesso con la dimensione del sottospazio

Magma1
$U$ è definito tramite un sistema lineare omogeneo, ovvero è l'insieme delle soluzioni del sistema che lo definisce.
Essendo il sistema lineare omogeneo costituita da $1$ equazione in $3$ incognite, si avrnno $oo^2$ soluzioni; ergo $dim(U)=2$:


$U=mathcalL{((8),(0),(1)),((0),(1),(0))}$

CarfRip
Ah sì giusto, è chiaro. Il ragionamento fatto per il secondo sottospazio W invece è corretto?

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