Verifica diagonalizzabilità al variare di k
Buongiorno a tutti! Oggi propongo questo esercizio che credo di aver fatto bene, ma i quali risultati non mi tornano con quelli del professore.
Ho la matrice $A=((2k,1-k,k),(0,k^2,k+2),(0,0,4))$ e devo verificare per quali valori di k essa è diagonalizzabile.
Io ho proceduto in questa maniera:
-calcolo il polinomio caratteristico
$p_f$$(t)=det((2k-t,1-k,k),(0,k^2 -t,k+2),(0,0,4-t)) = (k^2 -t)(2k-t)(4-t)$
-so che una matrice è diagonalizzabile se ha autovalori distinti, quindi mi basta capire per quali valori di k ottengo degli autovalori che si ripetono; pongo
$k^2 -t=2k-t$ da cui $k=0$ v $k=2$
$2k-t=4-t$ da cui $k=2$
$k^2 -t=4-t$ da cui $k=$±$2$
Ora, a rigor di logica gli autovalori non sono distinti per $k=0$ e $k=$±$2$ , no? Quindi la matrie è diagonlizzabile per $ k != 0$ e $k != \pm 2 $...
Sbaglio? Perchè nei risultati ci sta solo $ k != 0$ e $k != 2 $
Ho la matrice $A=((2k,1-k,k),(0,k^2,k+2),(0,0,4))$ e devo verificare per quali valori di k essa è diagonalizzabile.
Io ho proceduto in questa maniera:
-calcolo il polinomio caratteristico
$p_f$$(t)=det((2k-t,1-k,k),(0,k^2 -t,k+2),(0,0,4-t)) = (k^2 -t)(2k-t)(4-t)$
-so che una matrice è diagonalizzabile se ha autovalori distinti, quindi mi basta capire per quali valori di k ottengo degli autovalori che si ripetono; pongo
$k^2 -t=2k-t$ da cui $k=0$ v $k=2$
$2k-t=4-t$ da cui $k=2$
$k^2 -t=4-t$ da cui $k=$±$2$
Ora, a rigor di logica gli autovalori non sono distinti per $k=0$ e $k=$±$2$ , no? Quindi la matrie è diagonlizzabile per $ k != 0$ e $k != \pm 2 $...
Sbaglio? Perchè nei risultati ci sta solo $ k != 0$ e $k != 2 $
Risposte
Per $k=-2$ quali sono gli autovalori della matrice?
"cirasa":
Per $k=-2$ quali sono gli autovalori della matrice?
sono $t=4$ con $m.a.=2$ e $t=-4$ con $m.a.=1$
Devo vedere anche se per ogni autovalore risulta $m.a.=m.g.$ , vero? 
Esatto! E se svolgi bene i calcoli arrivi alla soluzione del libro!
"mistake89":
Esatto! E se svolgi bene i calcoli arrivi alla soluzione del libro!
bene bene...torna che per $t=4$ e $t=-4$ le $m.a.$ e $m.g.$ corrispondono....indi per cui per $k=-2$ la matrice risulta diagonalizzabile!
GRAZIE!
(vi amo XD)
rieccomi, torno con un esercizio uguale a quello posto prima, ma con una matrice leggermente più impegnativa:
$A_k=((k(3k-7),k(k-3),-1),(3k(7-2k),k(9-2k),2),(0,0,k+2))$
si vuole sapere per quali $k$ l'applicazione lineare $f_k : RR^3 -> RR^3$ definita da $f_k(x) = A_k * x$ non è diagonalizzabile.
Voi come procedereste? Al solito, calcolando il polinomio caratteristico e imponendo che vengano degli autovalori non distinti?
Ho provato questo metodo, ma risulta eccessivamente laborioso e il prof all'esame dice sempre:"se il vostro risultato è 3 pagine di conti, allora quello non è il risultato!"...c'è qualche altra via?
$A_k=((k(3k-7),k(k-3),-1),(3k(7-2k),k(9-2k),2),(0,0,k+2))$
si vuole sapere per quali $k$ l'applicazione lineare $f_k : RR^3 -> RR^3$ definita da $f_k(x) = A_k * x$ non è diagonalizzabile.
Voi come procedereste? Al solito, calcolando il polinomio caratteristico e imponendo che vengano degli autovalori non distinti?
Ho provato questo metodo, ma risulta eccessivamente laborioso e il prof all'esame dice sempre:"se il vostro risultato è 3 pagine di conti, allora quello non è il risultato!"...c'è qualche altra via?
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