Verifica di un sottospazio !
Buonasera amici,
sono un po' titubante su dei passaggi del seguente esercizio, dove bisogna dimostrare sei il seguente sottoinsieme è un sottospazio vettoriale.
Sia \(\displaystyle W=(x,y,z) \in \mathbb{R^3} : xy=0\) verificare se il seguente sottoinsieme è un sottospazio.
Bisogna verificare le seguenti proprietà
1) \(\displaystyle \mathbf{0} \in W \)
2) \(\displaystyle \forall h,k \in K : \forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in W \to h\mathbf{u}+k\mathbf{v}\in W\)
Per la 1) \(\displaystyle \forall \mathbf{x} \in W \) si ponga \(\displaystyle 0\mathbf{x}=\mathbf{0} \), verificata
Per la 2) scelti due scalari \(\displaystyle h,k \in K \) e due vettori \(\displaystyle \mathbf{u},\mathbf{v} \in W \), ovvero
\(\displaystyle \mathbf{u}=(x,y,z) \)
\(\displaystyle \mathbf{v}=(x',y',z') \)
da cui
* \(\displaystyle h\mathbf{u}+k\mathbf{v}=(hx+kx',hy+ky',hz+kz') \)
affinché * appartenga a \(\displaystyle W \), se e solo se
\(\displaystyle (hx+kx')(hy+ky')=0 \)
moltiplico a primo membro e usando \(\displaystyle xy=x'y'=0 \), ottengo
\(\displaystyle hk(xy'+x'y)=0 \)
** \(\displaystyle hkxy'=hkx'y \to xy'=- x'y \)
Diciamo che qua mi blocco, cioè penso che la ** non è sempre soddisfatta, per cui \(\displaystyle W \) non è sottospazio.
Grazie per le delucidazioni
Ciao
sono un po' titubante su dei passaggi del seguente esercizio, dove bisogna dimostrare sei il seguente sottoinsieme è un sottospazio vettoriale.
Sia \(\displaystyle W=(x,y,z) \in \mathbb{R^3} : xy=0\) verificare se il seguente sottoinsieme è un sottospazio.
Bisogna verificare le seguenti proprietà
1) \(\displaystyle \mathbf{0} \in W \)
2) \(\displaystyle \forall h,k \in K : \forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in W \to h\mathbf{u}+k\mathbf{v}\in W\)
Per la 1) \(\displaystyle \forall \mathbf{x} \in W \) si ponga \(\displaystyle 0\mathbf{x}=\mathbf{0} \), verificata
Per la 2) scelti due scalari \(\displaystyle h,k \in K \) e due vettori \(\displaystyle \mathbf{u},\mathbf{v} \in W \), ovvero
\(\displaystyle \mathbf{u}=(x,y,z) \)
\(\displaystyle \mathbf{v}=(x',y',z') \)
da cui
* \(\displaystyle h\mathbf{u}+k\mathbf{v}=(hx+kx',hy+ky',hz+kz') \)
affinché * appartenga a \(\displaystyle W \), se e solo se
\(\displaystyle (hx+kx')(hy+ky')=0 \)
moltiplico a primo membro e usando \(\displaystyle xy=x'y'=0 \), ottengo
\(\displaystyle hk(xy'+x'y)=0 \)
** \(\displaystyle hkxy'=hkx'y \to xy'=- x'y \)
Diciamo che qua mi blocco, cioè penso che la ** non è sempre soddisfatta, per cui \(\displaystyle W \) non è sottospazio.
Grazie per le delucidazioni
Ciao
Risposte
prima cosa, vedo male le formule; seconda cosa, mi sono fermato a leggere giá alla verifica del punto 1) perché non capisco il ragionamento o quel "verificata" ma fa niente; terza cosa, basta pensare un po e vedere che \((1,0,0) \in W \) and \((0,1,0)\in W\) perché \(1\cdot 0=0\cdot 1=0\) ma \(1\cdot(1,0,0)+1\cdot(0,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)=(1+0,0+1,0+0)=(1,1,0)\notin W\) perché \(1\cdot 1 \neq 0\), e ció basta per dimostrare che non è sottospazio...
Nella verifica di proprietá/assiomi/condizioni prova prima a vedere se vi sono casi particolari che non verificano che fai prima...
Nella verifica di proprietá/assiomi/condizioni prova prima a vedere se vi sono casi particolari che non verificano che fai prima...
Ciao
per la 1) voglio dire preso uno scalare \(\displaystyle a : a=0 \) e un vettore \(\displaystyle \mathbf{x} \in W \),faccio vedere che \(\displaystyle a\mathbf{x}=0\mathbf{x}=\mathbf{0} \), quindi ottengo la prima proprietà del sottospazio vettoriale.
per la 1) voglio dire preso uno scalare \(\displaystyle a : a=0 \) e un vettore \(\displaystyle \mathbf{x} \in W \),faccio vedere che \(\displaystyle a\mathbf{x}=0\mathbf{x}=\mathbf{0} \), quindi ottengo la prima proprietà del sottospazio vettoriale.
non mi sembra molto rigorosa come dimostrazione. che passaggi hai fatto per concludere questa cosa?
cosa diresti di un sottospazio definito dall'equazione $x+y+z=3$?
cosa diresti di un sottospazio definito dall'equazione $x+y+z=3$?
"galles90":
Ciao
per la 1) voglio dire preso uno scalare \(\displaystyle a : a=0 \) e un vettore \(\displaystyle \mathbf{x} \in W \),faccio vedere che \(\displaystyle a\mathbf{x}=0\mathbf{x}=\mathbf{0} \), quindi ottengo la prima proprietà del sottospazio vettoriale.
questa è una proprietá ovvia degli spazi vettoriali, triviale a mai finire anche, tu devi fare vedere che \(0_{\Bbb R^3} \in W\) cioé che \(\Bbb R^3\ni(0,0,0)\in W\), e come vedi certo che ci appartiene perché \(0\cdot 0=0\). Tu usi nella tua dimostrazione il fatto che \(\forall \alpha \in \Bbb{R}, x \in W: \alpha \cdot x\in W\), ma devi dimostrarlo prima e qualora non vale non toglie il fatto che \((0,0,0)\in W \), mentre se vale allora hai ragione, certo se vale la tua condizione 2) allora vale anche questa e vale anche che \((0,0,0)\in W \) ma se non vale anche qui non toglie il fatto che possa \((0,0,0)\in W \) ...
Ripassa un po meglio, rileggi e cerca di capire la definizione o il criterio per sottospazi, cerca di usare def. magari piú semplici e poi usare/provare dei criteri...
Un consiglio nel caso hai difficoltà a dimostrare $2)$ in futuro, puoi anche dividerla in:
i) $lambdav in V$ per ogni $v$ in $V$ ,$lambda$ in $RR \\ {0}$.
ii) $v_1+v_2 in V$ per ogni $v_1,v_2 in V$.
Che magari sono leggermente più facili da trattare mentalmente
i) $lambdav in V$ per ogni $v$ in $V$ ,$lambda$ in $RR \\ {0}$.
ii) $v_1+v_2 in V$ per ogni $v_1,v_2 in V$.
Che magari sono leggermente più facili da trattare mentalmente
Ciao garnak.olegovitc,
per vedere se un vettore nullo appartiene ad un sottospazio, devo verificare che la prima componente di un vettore, sia uguale a zero ?
Cooper risolvo prima questo problema, poi vedo il tuo, grazie
per vedere se un vettore nullo appartiene ad un sottospazio, devo verificare che la prima componente di un vettore, sia uguale a zero ?
Cooper risolvo prima questo problema, poi vedo il tuo, grazie
"galles90":nooo, di solito i sottospazi sono formati da vettori, nel tuo caso 3-uple, che hanno determinate caratteristiche o proprietá, nel tuo caso sono le componenti di questi vettori ad essere particolari, ovvero prendi un vettore \(v \in \Bbb{R}^3\) allora: $$ v\in W \leftrightarrow \exists x,y,z \in \Bbb{R} : v=(x,y,z) \wedge x\cdot y=0$$ ora se \(v=(0,0,0) \in \Bbb{R}^3\) allora appartiene a \(W\) perché \(0 \in \Bbb{R}\) esiste assiomaticamente[nota]\(\Bbb{R}\) è un campo prima di tutto[/nota] e \(0 \cdot 0=0\)[nota]questo è triviale in un campo come \(\Bbb{R}\)[/nota]
Ciao garnak.olegovitc,
per vedere se un vettore nullo appartiene ad un sottospazio, devo verificare che la prima componente di un vettore, sia uguale a zero ?
Proprio questo \(\displaystyle 0*0=0 \) che non mi è chiaro.. cosa intendi
il prodotto di \(\displaystyle x*y=0 \)
il prodotto di \(\displaystyle x*y=0 \)
"galles90":
Proprio questo \(\displaystyle 0*0=0 \) che non mi è chiaro.. cosa intendi
il prodotto di \(\displaystyle x*y=0 \)
ok, \((0,0,0)\) è un vettore di \(\Bbb{R}^3\)? \((0,0,0)\) è un elemento di \(W\)?? Rispondimi ad entrambe le domande e perché soprattutto!!
Per la prima si, perché entrambi le componenti \(\displaystyle x=y=z=0 \) è \(\displaystyle 0 \in \mathbb{R} \)
Per la seconda si, il perché viene dalla tua:
\[ v\in W \leftrightarrow \exists x,y,z \in \Bbb{R} : v=(x,y,z) \wedge x\cdot y=0 \].
Penso di aver capito il metodo
se un vettore appartiene oppure no,
Tipo in questo caso per verificare se il vettore \(\displaystyle v = (0,0,0) \in W \) dobbiamo vedere se si verificano le due proprietà, cioè sono racchiusa nella tua risposta:
\[ v\in W \leftrightarrow \exists x,y,z \in \Bbb{R} : v=(x,y,z) \wedge x\cdot y=0 \].
Per la seconda si, il perché viene dalla tua:
\[ v\in W \leftrightarrow \exists x,y,z \in \Bbb{R} : v=(x,y,z) \wedge x\cdot y=0 \].
Penso di aver capito il metodo
se un vettore appartiene oppure no, Tipo in questo caso per verificare se il vettore \(\displaystyle v = (0,0,0) \in W \) dobbiamo vedere se si verificano le due proprietà, cioè sono racchiusa nella tua risposta:
\[ v\in W \leftrightarrow \exists x,y,z \in \Bbb{R} : v=(x,y,z) \wedge x\cdot y=0 \].
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