Verifica che un curva è C infinito

[Aletzunny1]

sia $p(t)={((0,e^(1/t)),if t<0),((0,0),if t=0),((e^(-1/t),0),if t>0):}$ una curva.

Dimostrare che p(t) è una curva di classe $C^(infty)$

la tesi mi pare abbastanza evidente per come è definita $p(t)$ ma volendo dimostrarlo formalmente devo dimostrare che

$lim_(t->0^-) p'(t)=p'(0)=lim_(t->0^+) p'(t)$ e poi posso usare l'induzione?

oppure vi è qualche altra strategia per le curve in $RR^2$?

grazie

[Aletzunny1]

Nessuno riesce a darmi una mano?
Grazie

[gugo82]

Beh, dai, è un esempio tipico di Analisi I... La funzione che vale $f(t) := \{(0, ", se " t <= 0), (e^(-1/t), ", se " t >0):}$ è di classe $C^oo(RR)$ e si dimostra facendo un po' di induzione.

Detto ciò, la tua curva si scrive $mathbf(p)(t) = (f(t), f(-t))$, perciò...

[j18eos]

@Aletzunny In breve: sì; al più segui il suggerimento di gugo82

[Aletzunny1]

grazie mille!