Verifica che i vettori sono Linearmente Indipendenti
Salve a tutti!
Come da titolo, vorrei verificare se questi vettori nello spazio vettoriale `M_{2}R` sono linearmente indipendenti.
$ v_{1} = ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) $ $ v_{2} = ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) $ $ v_{3} = ( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $
Ho iniziato facendo la combinazione lineare.
$ ( ( alpha , alpha ),( 0 , 0 ) ) + ( ( beta , -beta ),( 0 , 0 ) ) + ( ( gamma , gamma ),( gamma , 0 ) ) = ( ( alpha + beta + gamma, alpha -beta + gamma ),( gamma , 0 ) ) $
E ora dovrei verificare che i coefficenti siano tutti nulli.
$ { ( alpha+beta+gamma = 0 ),( alpha - beta + gamma = 0 ),( gamma = 0 ), (0=0):} $
Ho un 0 = 0, cosa c'è che non va? Oppure ho semplicemente trovato che i vettori sono linearmente dipendenti? E' strano, io non vedo relazioni.
Come da titolo, vorrei verificare se questi vettori nello spazio vettoriale `M_{2}R` sono linearmente indipendenti.
$ v_{1} = ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) $ $ v_{2} = ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) $ $ v_{3} = ( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $
Ho iniziato facendo la combinazione lineare.
$ ( ( alpha , alpha ),( 0 , 0 ) ) + ( ( beta , -beta ),( 0 , 0 ) ) + ( ( gamma , gamma ),( gamma , 0 ) ) = ( ( alpha + beta + gamma, alpha -beta + gamma ),( gamma , 0 ) ) $
E ora dovrei verificare che i coefficenti siano tutti nulli.
$ { ( alpha+beta+gamma = 0 ),( alpha - beta + gamma = 0 ),( gamma = 0 ), (0=0):} $
Ho un 0 = 0, cosa c'è che non va? Oppure ho semplicemente trovato che i vettori sono linearmente dipendenti? E' strano, io non vedo relazioni.
Risposte
$0=0$ ti sta semplicemente dicendo che lì non devi verificare niente, i due valori coincidono per ogni scelta dei parametri.
Quindi visto che tutti i coefficienti sono nulli, posso considerare i vettori Linearmente Indipendenti?
Ho un po' di dubbi a riguardo, soppratutto se ci sono matrici.
Ho un po' di dubbi a riguardo, soppratutto se ci sono matrici.
"Giu1234":
Quindi visto che tutti i coefficienti sono nulli, posso considerare i vettori Linearmente Indipendenti?
corretto. hai dimostrato che se $sum_i alpha_iv_i =0 rArr alpha_i =0, AAi$
"Giu1234":
Ho un po' di dubbi a riguardo, soppratutto se ci sono matrici.
se sei più comod* con i vettori potresti usare l'isomorfismo canonico tra lo spazio vettoriale delle matrici $n xx n$ e lo spazio vettoriale $RR^(n^2)$, anche se forse non ne avete ancora parlato essendo all'inidipendenza lineare.
"Giu1234":
$ { ( alpha+beta+gamma = 0 ),( alpha - beta + gamma = 0 ),( gamma = 0 ), (0=0):} $
Questo lo devi risolvere, adesso.
@dissonance: penso che l'abbia risolto, anche perchè ha detto che tutti i coefficienti sono nulli. credo la disturbasse proprio il fatto di avere un'equazione senza parametri
Si, l'ho risolto, grazie a tutti! 
In seguito l'esercizio mi chiede di completarli a base di $ M_{2}R $ . Solo che non ho capito esattamente cosa mi stia chiedendo. Significa che devo aggiungere quel vettore (magari preso dalla base canonica) che mi permette di eliminare quell'uguaglianza?
In seguito l'esercizio mi chiede di completarli a base di $ M_{2}R $ . Solo che non ho capito esattamente cosa mi stia chiedendo. Significa che devo aggiungere quel vettore (magari preso dalla base canonica) che mi permette di eliminare quell'uguaglianza?
lo spazio delle matrici $2 xx 2$ (quello che tu hai chiamato $M_2(RR)$) ha dimensione 4, quindi una sua base è formata da quattro elementi. i vettori che hai tu invece sono solo 3. devi quindi aggiungerne uno che sia linearmente indipendente dai tre che già hai e che permetta di generare lo spazio.
usare la base canonica è un'ottima idea
usare la base canonica è un'ottima idea
Va bene, grazie @cooper !
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