Varietà topologiche, differenziabili e cardinalità
Chiamo varietà topologica di dimensione \(\displaystyle n \) uno spazio di Hausdorff a base numerabile localmente euclideo di dimensione \(\displaystyle n \).
Chiamo varietà differenziabile una coppia \(\displaystyle (M, \mathcal U ) \) dove \(\displaystyle M \) è una varietà topologica ed \(\displaystyle \mathcal U \) è un atlante massimale su \(\displaystyle M \). \(\displaystyle \mathcal U \) si chiama struttura differenziabile su \(\displaystyle M \).
Per il teorema di Whitney ogni varietà differenziabile di dimensione \(\displaystyle n \) ammette una immersione iniettiva in \(\displaystyle \mathbb R ^{2n} \).
Per Whitney, ogni varietà differenziabile, come insieme, ha la cardinalità del continuo (cioè di \(\displaystyle \mathbb R \) ), a meno che non sia di dimensione \(\displaystyle 0 \) (nel qual caso è uno spazio discreto al più numerabile), giusto?
Un certo Kervaire nel 1960 ha costruito una varietà topologica che non ammette una struttura differenziabile (link).
È risaputo, inoltre, che ogni insieme equipotente al sostegno di una varietà differenziabile si struttura a varietà differenziabile della stessa dimensione.
Devo dedurre, allora, che le varietà topologiche che non ammettono una struttura differenziabile devono avere una cardinalità superiore a quella del continuo, nonostante siano localmente euclidee di dimensione finita.
In particolare, le varietà topologiche che non ammettono una struttura differenziabile non possono essere in alcun modo sottoinsiemi di uno spazio euclideo \(\displaystyle \mathbb R^k \) per qualche \(\displaystyle k \in \mathbb N \), giusto?
Ci sono degli errori nel mio ragionamento?
Grazie dell'aiuto.
Chiamo varietà differenziabile una coppia \(\displaystyle (M, \mathcal U ) \) dove \(\displaystyle M \) è una varietà topologica ed \(\displaystyle \mathcal U \) è un atlante massimale su \(\displaystyle M \). \(\displaystyle \mathcal U \) si chiama struttura differenziabile su \(\displaystyle M \).
Per il teorema di Whitney ogni varietà differenziabile di dimensione \(\displaystyle n \) ammette una immersione iniettiva in \(\displaystyle \mathbb R ^{2n} \).
Per Whitney, ogni varietà differenziabile, come insieme, ha la cardinalità del continuo (cioè di \(\displaystyle \mathbb R \) ), a meno che non sia di dimensione \(\displaystyle 0 \) (nel qual caso è uno spazio discreto al più numerabile), giusto?
Un certo Kervaire nel 1960 ha costruito una varietà topologica che non ammette una struttura differenziabile (link).
È risaputo, inoltre, che ogni insieme equipotente al sostegno di una varietà differenziabile si struttura a varietà differenziabile della stessa dimensione.
Devo dedurre, allora, che le varietà topologiche che non ammettono una struttura differenziabile devono avere una cardinalità superiore a quella del continuo, nonostante siano localmente euclidee di dimensione finita.
In particolare, le varietà topologiche che non ammettono una struttura differenziabile non possono essere in alcun modo sottoinsiemi di uno spazio euclideo \(\displaystyle \mathbb R^k \) per qualche \(\displaystyle k \in \mathbb N \), giusto?
Ci sono degli errori nel mio ragionamento?
Grazie dell'aiuto.
Risposte
È risaputo, inoltre, che ogni insieme equipotente al sostegno di una varietà differenziabile si struttura a varietà differenziabile della stessa dimensione.
Devo dedurre, allora, che le varietà topologiche che non ammettono una struttura differenziabile devono avere una cardinalità superiore a quella del continuo, nonostante siano localmente euclidee di dimensione finita.
Non vedo il nesso.
Ogni struttura differenziabile su un insieme \(X\) induce su \(X\) una struttura di varietà topologica (cioè una particolare topologia).
Dire che una varietà topologica \((X,\tau)\) non ammette strutture differenziabili significa che la topologia indotta da qualsiasi stuttura differenziabile su \(X\) è diversa da \(\tau\).
Un sottoinsieme qualsiasi di uno spazio euclideo \(\displaystyle \mathbb R^k \), \(\displaystyle k \in \mathbb N \), ha cardinalità finita, numerabile, o del continuo quindi è equipotente ad uno spazio finito, a \(\displaystyle \mathbb N \) o ad \(\displaystyle \mathbb R \) quindi ammette una struttura differenziabile.
Di conseguenza, la cardinalità di una varietà topologica che non ammette struttura differenziabile deve essere maggiore di quella del continuo, o sbaglio?
Di conseguenza, la cardinalità di una varietà topologica che non ammette struttura differenziabile deve essere maggiore di quella del continuo, o sbaglio?
Di conseguenza, la cardinalità di una varietà topologica che non ammette struttura differenziabile deve essere maggiore di quella del continuo, o sbaglio?
Questo è vero se sostituisci "varietà topologica" con "insieme".
"elvis":Di conseguenza, la cardinalità di una varietà topologica che non ammette struttura differenziabile deve essere maggiore di quella del continuo, o sbaglio?
Questo è vero se sostituisci "varietà topologica" con "insieme".
Scusa ma perché? Non capisco cosa intendi dire.
Una varietà topologica è un insieme con una data topologia che rispecchia certe proprietà.
Una varietà differenziabile è una coppia data da una varietà topologica e da un atlante massimale.
Forse non ci capiamo sui termini.
No, i termini non c'entrano.
A me sembra che, nel tuo ragionamento, tu stia impropriamente confondendo una varietà topologica con il suo sostegno. L'unica cosa vera che puoi dire è che se \(X\) è un insieme con cardinalità superiore a quella del continuo, allora non esistono strutture differenziabili su \(X\). Ma come fai ad affermare il viceversa? Tu dici: se \((X,\tau)\) è una varietà topologica con la cardinalità (ad esempio) di \(\mathbb{R}\), esiste una corrispondenza biunivoca \(X \to \mathbb{R}\) e, tramite questa mappa, banalmente, è possibile trasferire la struttura differenziabile di \(\mathbb{R}\) a \(X\), in modo da rendere \(X\) una varietà differenziabile diffeomorfa (e quindi omeomorfa) a \(\mathbb{R}\). Domanda: che fine ha fatto la topologia \(\tau\) di \(X\)?
Evidentemente c'è qualcosa che non torna...
A me sembra che, nel tuo ragionamento, tu stia impropriamente confondendo una varietà topologica con il suo sostegno. L'unica cosa vera che puoi dire è che se \(X\) è un insieme con cardinalità superiore a quella del continuo, allora non esistono strutture differenziabili su \(X\). Ma come fai ad affermare il viceversa? Tu dici: se \((X,\tau)\) è una varietà topologica con la cardinalità (ad esempio) di \(\mathbb{R}\), esiste una corrispondenza biunivoca \(X \to \mathbb{R}\) e, tramite questa mappa, banalmente, è possibile trasferire la struttura differenziabile di \(\mathbb{R}\) a \(X\), in modo da rendere \(X\) una varietà differenziabile diffeomorfa (e quindi omeomorfa) a \(\mathbb{R}\). Domanda: che fine ha fatto la topologia \(\tau\) di \(X\)?
Evidentemente c'è qualcosa che non torna...
"elvis":
Domanda: che fine ha fatto la topologia \(\tau\) di \(X\)?
È stata distrutta, ora ho capito. Mi ero convinto di poter dotare ogni varietà topologica con la cardinalità del continuo di una struttura differenziabile ma per far questo distruggevo la topologia di quella varietà mantenendo solo l'insieme sostegno, ottenendo, quindi, una varietà topologica diversa da quella di partenza.
Probabilmente non mi era nemmeno molto chiaro il seguente fatto.
"elvis":
Dire che una varietà topologica \((X,\tau)\) non ammette strutture differenziabili significa che la topologia indotta da qualsiasi stuttura differenziabile su \(X\) è diversa da \(\tau\).
Grazie mille elvis!
Esistono sostegni di varietà topologiche immerse in $\mathbb{R}^{n}$, sui quali non possibile costruire alcuna struttura differenziabile ?
Mettiamo che una varietà topologica abbia topologia $\tau$ ed ammetta anche una struttura differenziabile. Da quanto leggo qui, se $\tau '$ è la topologia indotta dalla struttura differenziabile, allora $\tau \equiv \tau '$, giusto ? Se sì, come si motiva o giustifica la cosa ?
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