Varietà simplettiche
Volevo chiedere un chiarimento riguardo le varietà simplettiche.
Dunque sono in una varietà simplettica generica $ (M,w) $, in cui $ w $ è una 2-forma chiusa e non degenere. Avendo i morfismi musicali, bemolle e diesis che mi permettono di andare, rispettivamente, da campi a 1-forme e viceversa, ho che: $ X^b = phi $ , con $ X: Mrarr TM $ campo e $ phi:Mrarr T^*M $ 1-forma ($T^*M$ indica lo spazio cotangente). Volevo chiedere, innanzitutto, è giusto tutto ciò? E poi $ w $, 2-forma, da quale spazio a quale spazio va, come applicazione?
Dunque sono in una varietà simplettica generica $ (M,w) $, in cui $ w $ è una 2-forma chiusa e non degenere. Avendo i morfismi musicali, bemolle e diesis che mi permettono di andare, rispettivamente, da campi a 1-forme e viceversa, ho che: $ X^b = phi $ , con $ X: Mrarr TM $ campo e $ phi:Mrarr T^*M $ 1-forma ($T^*M$ indica lo spazio cotangente). Volevo chiedere, innanzitutto, è giusto tutto ciò? E poi $ w $, 2-forma, da quale spazio a quale spazio va, come applicazione?
Risposte
Immagino che tu stia studiando Meccanica Analitica, ma questa è una domanda puramente teorica per cui la sposto nella sezione di Geometria.
Comunque una 2-forma può essere vista in due modi equivalenti:
[list=1][*:2ogat3t8]punto di vista locale - come applicazione \(M \to T_2^0(M)\), dove \(T_2^0(M)\) è il fibrato dei tensori di tipo (0,2) su \(M\), e un tensore di tipo \(0, 2\) in un punto \(p\) è una applicazione bilineare \(T_p M\times T_p M\to \mathbb{R}\); [/*:m:2ogat3t8]
[*:2ogat3t8]punto di vista globale - come applicazione \(C^\infty(M)\)-bilineare di \(\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to C^\infty(M)\), dove \(\mathfrak{X}(M)\) è il \(C^\infty(M)\)-modulo [size=85](*)[/size] dei campi vettoriali differenziabili su \(M\).[/*:m:2ogat3t8][/list:o:2ogat3t8]
__________
(*) Dire che \(\mathfrak{X}(M)\) è un \(C^\infty(M)\)-modulo significa dire che, presi due campi vettoriali \(X, Y \in \mathfrak{X}(M)\), ha senso farne combinazioni lineari a coefficienti in \(C^\infty(M)\), oltre che a coefficienti in \(\mathbb{R}\).
[list=1][*:2ogat3t8]punto di vista locale - come applicazione \(M \to T_2^0(M)\), dove \(T_2^0(M)\) è il fibrato dei tensori di tipo (0,2) su \(M\), e un tensore di tipo \(0, 2\) in un punto \(p\) è una applicazione bilineare \(T_p M\times T_p M\to \mathbb{R}\); [/*:m:2ogat3t8]
[*:2ogat3t8]punto di vista globale - come applicazione \(C^\infty(M)\)-bilineare di \(\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to C^\infty(M)\), dove \(\mathfrak{X}(M)\) è il \(C^\infty(M)\)-modulo [size=85](*)[/size] dei campi vettoriali differenziabili su \(M\).[/*:m:2ogat3t8][/list:o:2ogat3t8]
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(*) Dire che \(\mathfrak{X}(M)\) è un \(C^\infty(M)\)-modulo significa dire che, presi due campi vettoriali \(X, Y \in \mathfrak{X}(M)\), ha senso farne combinazioni lineari a coefficienti in \(C^\infty(M)\), oltre che a coefficienti in \(\mathbb{R}\).
Grazie mille...
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