Varietà differenziali
Avrei due domande di geometria differenziale:
1) Una varietà differenziale di dimensione 2 è o non è una superficie differenziale? Ad esempio il cono che è una varietà differenziale (poiché grafico di funzione) ha il vertice come punto singolare che gli impedisce di essere espresso come foglio semplice... ma è comunque una superficie differenziale o questa è una condizione più restrittiva rispetto all'essere semplicemente una 2-varietà differenziale?
2) Su ogni varietà topologica si può costruire una struttura differenziale che la rende varietà differenziale o esistono varietà topologiche che non sono differenziabili?
Ringrazio in anticipo chi vorrà rispondermi...
1) Una varietà differenziale di dimensione 2 è o non è una superficie differenziale? Ad esempio il cono che è una varietà differenziale (poiché grafico di funzione) ha il vertice come punto singolare che gli impedisce di essere espresso come foglio semplice... ma è comunque una superficie differenziale o questa è una condizione più restrittiva rispetto all'essere semplicemente una 2-varietà differenziale?
2) Su ogni varietà topologica si può costruire una struttura differenziale che la rende varietà differenziale o esistono varietà topologiche che non sono differenziabili?
Ringrazio in anticipo chi vorrà rispondermi...
Risposte
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[*:2za2xxed] Una superficie differenziabile è una varietà differenziabile; considerato un cono (ellittico): esiste un intorno del vertice omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)?[/*:m:2za2xxed]
[*:2za2xxed] Sì, esistono varietà topologiche non differenziabili; due esempi li puoi trovare su l'Abate-Tovena Geometria differenziale e Boothby An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.[/*:m:2za2xxed][/list:o:2za2xxed]Prego, di nulla!
[*:2za2xxed] Una superficie differenziabile è una varietà differenziabile; considerato un cono (ellittico): esiste un intorno del vertice omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)?[/*:m:2za2xxed]
[*:2za2xxed] Sì, esistono varietà topologiche non differenziabili; due esempi li puoi trovare su l'Abate-Tovena Geometria differenziale e Boothby An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.[/*:m:2za2xxed][/list:o:2za2xxed]Prego, di nulla!
Per quanto riguarda la seconda risposta il sì a cosa è riferito? A fatto che su ogni varietà topologica costruisco una struttura differenziale o che su quei libri ci sono due esempi di varietà topologiche non differenziabili?
Per quanto riguarda la prima, la definizione di struttura differenziale che mi è stata data non prevede che l'applicazione tra un intorno sulla varietà e un aperto di R^2 sia un diffeomorfismo ma semplicemente un omeomorfismo (anche perché senza una struttura a priori definire la differenziabilità è insensato), quindi per il cono basterebbe una carta che è la proiezione di R^2 (con cono intendo la superficie a una falda), ma non posso dire che è una superficie differenziabile perchè non c'è un foglio semplice che comprenda il vertice.
Per quanto riguarda la prima, la definizione di struttura differenziale che mi è stata data non prevede che l'applicazione tra un intorno sulla varietà e un aperto di R^2 sia un diffeomorfismo ma semplicemente un omeomorfismo (anche perché senza una struttura a priori definire la differenziabilità è insensato), quindi per il cono basterebbe una carta che è la proiezione di R^2 (con cono intendo la superficie a una falda), ma non posso dire che è una superficie differenziabile perchè non c'è un foglio semplice che comprenda il vertice.
Ho corretto il mio intervento!
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