Varietà differenziabili
Ho letto su un testo (di Meccanica, non di geometria) che sussiste la seguente proprietà: se [tex]X[/tex] è una varietà differenziabile di dimensione [tex]n[/tex] e classe [tex]\mathcal{C}^{(1)}[/tex] ed è paracompatta, allora è di classe [tex]\mathcal{C}^{(\infty)}[/tex]. Ovviamente, la dimostrazione non era riportata (manco accennata).
Francamente non mi è così spontaneo credere che ciò sia vero... Qualcuno di voi conosce questo risultato? Sapreste indicarmi (nel caso in cui sia vero) un riferimento alla dimostrazione?
Francamente non mi è così spontaneo credere che ciò sia vero... Qualcuno di voi conosce questo risultato? Sapreste indicarmi (nel caso in cui sia vero) un riferimento alla dimostrazione?
Risposte
E' una cosa che ho sentito dire pure io, chiaramente non te lo so dimostrare. Si chiama teorema di Whitney e lo trovo enunciato su degli appunti di geometria differenziale scritti da ciampax (non lo so se sono online però, se passa ciampax da qui magari ce lo dice lui). Riporto:
L'ipotesi di paracompattezza qui non è enunciata esplicitamente, però è stato richiesto a priori che $M$ avesse una base numerabile di aperti. E quindi siamo lì. Per la dimostrazione non ti so proprio dire, naturalmente non ho la più pallida idea di cosa possa essere.
Teorema (Whitney) Sia $M$ una varietà topologica $n$-dimensionale e sia $A^r$ una struttura differenziale su $M$ di classe $C^r$. Allora per ogni $q ge r$ (anche $q=infty$) esiste un'unica struttura differenziale di classe $C^q$ su $M$ tale che $A^r$ è ad essa subordinata.
L'ipotesi di paracompattezza qui non è enunciata esplicitamente, però è stato richiesto a priori che $M$ avesse una base numerabile di aperti. E quindi siamo lì. Per la dimostrazione non ti so proprio dire, naturalmente non ho la più pallida idea di cosa possa essere.
Grazie dissonance. Magari provo a contattare via pm ciampax.
Se hai il Sernesi è l'ultimo argomento del capitolo sulle varietà differenziali. Guardando velocemente sembra che la dimostrazione ci sia.
Sì, il Sernesi dimostra un teorema "di Whitney". Però direi che non è il teorema giusto: il teorema dimostrato dal Sernesi afferma che ogni varietà differenziabile di dimensione [tex]k[/tex] (e, nell'ambito di questo testo, bisogna leggere differenziabile di classe [tex]\mathcal{C}^{(\infty)}[/tex]) ammette un'inclusione differenziale in [tex]\mathbb{R}^{2k+1}[/tex]. Mi sembrano due fatti diversi... poi magari questo teorema implica quello di cui avrei bisogno, ma adesso non mi sembra per nulla ovvio...
Allora, ho fatto una piccola ricerca. Il libro di Spivak A comprehensive introduction to differential geometry, vol. I, 3a ed. parla di questo risultato a pagina 34, rimandando al testo di Munkres Elementary Differential Topology per una dimostrazione. Deve essere una dimostrazione molto difficile.
Ho visto... Grazie mille dissonance!
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