Varietà algebriche
Ho questa definizione di $X$ varietà algebrica: siano $K$ un campo algebricamente chiuso , $\alpha$ ideale $\in K[t_1, ... , t_n]$ , $X={x \in K^n t.c. f(x)=0 \forall f \in \alpha }$.
Devo dimostrare che $V(I(X))=X$.
Per definizione $V(I(X))={x \in K^n t.c. f(x)=0 \forall f \in I(x)}$.
Questo insieme sicuramente contiene $X$ per come è definito $I(X)$ ma non riesco proprio a convincermi dell'inclusione inversa!
Devo dimostrare che $V(I(X))=X$.
Per definizione $V(I(X))={x \in K^n t.c. f(x)=0 \forall f \in I(x)}$.
Questo insieme sicuramente contiene $X$ per come è definito $I(X)$ ma non riesco proprio a convincermi dell'inclusione inversa!
Risposte
L'inclusione inversa infatti non è banale, non per nulla ci è voluto Hilbert per mostrarla. 
In sostanza quel che hai davanti è il Nullstellensatz: con una notazione un po' diversa (poi magari traduciamo) si ha
Nullstellensatz (Hilbert - 18#&). Sia [tex]\mathbb K[/tex] un campo alg. chiuso, ed [tex]f[/tex] un polinomio in [tex]\mathbb K[X_0,\dots,X_n][/tex] ridotto (ossia senza fattori ripetuti) e irriducibile che definisce una varietà algebrica come suo luogo degli zeri. Allora
[tex](V(f))=\{g\in\mathbb K[\underline X]\mid g(\underline P)=0 \;\text{se}\; f(\underline P)=0\}[/tex]
(polinomi che si annullano su ogni punto dell'ipersuperficie definita da [tex]f[/tex]) è insiemisticamente uguale all'ideale di [tex]\mathbb K[\underline X][/tex] generato da [tex]f[/tex].
Una inclusione è banale, perchè se [tex]h[/tex] sta in [tex](f)[/tex] ovviamente si annulla ovunque si annulli [tex]f[/tex].
Per l'inclusione inversa si può ragionare così: sia [tex]g\in (V(f)) \subset \mathbb K[X_0,\dots X_{n-1}][X_n] \hookrightarrow \mathbb K(X_0,\dots,X_{n-1})[X_n][/tex]. Possiamo suporre (a meno di un cambio di riferimento) che [tex]f(0,\dots,0,1)\neq 0[/tex], e poniamo [tex]d=\deg f[/tex].
Scegliamo [tex]g[/tex] di grado minimo possibile nella variabile [tex]X_n[/tex], e sia [tex]e[/tex] tale grado. Osserviamo che [tex]e>0[/tex]: se così non fosse (ossia se fosse solo [tex]g\in\mathbb K[X_0,\dots,X_{n-1}][/tex]), prendiamo [tex]\underline Y=(Y_0,\dots Y_{n-1})[/tex] tale che [tex]g(\underline Y)\neq 0[/tex] (possiamo certamente farlo perchè [tex]\mathbb K[/tex] è infinito: come mai è infinito? ) e troviamo (di nuovo, lo troviamo sicuramente perchè [tex]\mathbb K[/tex] è algebricamente chiuso) un [tex]X_n[/tex] tale che [tex]f(\underline Y,X_n)=0[/tex]. Ma questo è assurdo, perchè allora dovrebbe essere [tex]g(Y_0,\dots,Y_{n-1},X_n)=g(Y_0,\dots,Y_{n-1})=0[/tex].
Allora [tex]e\ge \deg_{X_n} f[/tex] (e allora si può scegliere [tex]g=f[/tex]): se così non fosse si potrebbe dividere[tex]f=qg+r[/tex] con [tex]\deg_{X_n}r<\deg_{X_n}g[/tex], violando la minimalità di [tex]\deg_{X_n}g[/tex], oppure [tex]r=0[/tex], e allora [tex]f[/tex] sarebbe riducibile... e la fine te la lascio
In sostanza quel che hai davanti è il Nullstellensatz: con una notazione un po' diversa (poi magari traduciamo) si ha
Nullstellensatz (Hilbert - 18#&). Sia [tex]\mathbb K[/tex] un campo alg. chiuso, ed [tex]f[/tex] un polinomio in [tex]\mathbb K[X_0,\dots,X_n][/tex] ridotto (ossia senza fattori ripetuti) e irriducibile che definisce una varietà algebrica come suo luogo degli zeri. Allora
[tex](V(f))=\{g\in\mathbb K[\underline X]\mid g(\underline P)=0 \;\text{se}\; f(\underline P)=0\}[/tex]
(polinomi che si annullano su ogni punto dell'ipersuperficie definita da [tex]f[/tex]) è insiemisticamente uguale all'ideale di [tex]\mathbb K[\underline X][/tex] generato da [tex]f[/tex].
Una inclusione è banale, perchè se [tex]h[/tex] sta in [tex](f)[/tex] ovviamente si annulla ovunque si annulli [tex]f[/tex].
Per l'inclusione inversa si può ragionare così: sia [tex]g\in (V(f)) \subset \mathbb K[X_0,\dots X_{n-1}][X_n] \hookrightarrow \mathbb K(X_0,\dots,X_{n-1})[X_n][/tex]. Possiamo suporre (a meno di un cambio di riferimento) che [tex]f(0,\dots,0,1)\neq 0[/tex], e poniamo [tex]d=\deg f[/tex].
Scegliamo [tex]g[/tex] di grado minimo possibile nella variabile [tex]X_n[/tex], e sia [tex]e[/tex] tale grado. Osserviamo che [tex]e>0[/tex]: se così non fosse (ossia se fosse solo [tex]g\in\mathbb K[X_0,\dots,X_{n-1}][/tex]), prendiamo [tex]\underline Y=(Y_0,\dots Y_{n-1})[/tex] tale che [tex]g(\underline Y)\neq 0[/tex] (possiamo certamente farlo perchè [tex]\mathbb K[/tex] è infinito: come mai è infinito?
) e troviamo (di nuovo, lo troviamo sicuramente perchè [tex]\mathbb K[/tex] è algebricamente chiuso) un [tex]X_n[/tex] tale che [tex]f(\underline Y,X_n)=0[/tex]. Ma questo è assurdo, perchè allora dovrebbe essere [tex]g(Y_0,\dots,Y_{n-1},X_n)=g(Y_0,\dots,Y_{n-1})=0[/tex].Allora [tex]e\ge \deg_{X_n} f[/tex] (e allora si può scegliere [tex]g=f[/tex]): se così non fosse si potrebbe dividere[tex]f=qg+r[/tex] con [tex]\deg_{X_n}r<\deg_{X_n}g[/tex], violando la minimalità di [tex]\deg_{X_n}g[/tex], oppure [tex]r=0[/tex], e allora [tex]f[/tex] sarebbe riducibile... e la fine te la lascio
grazie mille! posterò sicuramente qualcos'altro data l'oscurità dell'argomento!
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