Varietà

[miuemia]

ciao a tutti sto seguendo un corso di geoemtria differenziale e oggi il porf ha introdotto le varietà di kahler e ha detto questa cosa:
"in generale una varietà di kahler non possiede sottovarietà" la cosa mi ha colpèito un sacco perche tutti gli esempi che ho
posseggono sottovarietà, qualcuno potrebbe darmi delucidazioni a riguardo o anche un libro su cui è citato questo risultato?
grazie mille

[alberto861]

$\mathbb{P}(\mathbb{C})^n$ è una varietà di Kahler con la metrica di Fubini-Study e inoltre tutte le varietà che si possono immergere nello spazio proiettivo sono Kahler..Un famoso teorema di Kodaira ti dice che se una varietà complessa compatta M ammette un fibrato lineare positivo, ossia con la prima Chern-class positiva, ossia con una (1,1)-forma (che rappresenta la chern class) positiva, allora esiste un'immersione (come varietà complessa) di M in $\mathbb{P}(\mathbb{C})^n$. Come esempio puoi prendere un toro complesso con una polarizzazione positiva e questo per Kodaira ma anche per un teorema di Lefschetz lo puoi immergere in $\mathbb{P}(\mathbb{C})^n$.. Per una buona referenza vedi Griffiths-Harris "Principle of algebraic geometry"

[miuemia]

grazie alberto quello che hai scritto già lo sapevo. forse sono stato poco chiaro, io vorrei trovare un esempio di varietà di kahler che non possiede sottovarietà!

[alberto861]

Scusa cosa c'è di errato in questo: per ipotesi $M$ Kahler con metrica $\omega$, $N$ sottovarietà allora esiste inclusione analitica $i: N\rightarrow M$ che inietta anche gli spazi co- e tangenti e mantiene l'operatore $d$. Tale inclusione induce su $N$ la metrica $i^{\star} \omega$ e chiaramente poichè $d i^{\star}= i^{\star} d$ si ha che $i^{\star} \omega $ è Kahler

[miuemia]

nulla. mi sai dare un esempio di varietà di kahler che non ha sottovarietà?