Vari problemi
Ciao ragazzi ho tre problemi distinti che non riesco a risolvere..C'è qualcuno che mi aiuta gentilmente nella risoluzione e sopratutto nella comprensione?
Non so proprio da dove partite..
1) trovare il dominio e il codominio dell'applicazione lineare fA
2) Trovare la dimensione e una base dello spazio delle righe
3) Stabilire se un insieme è un sottospazio
4) Dato l'insieme $B=[(1,1,2) (0,1,-1,) (1,2,0)]$ determinare le cordinate del generico vettore $(0,0,1)$ rispetto a B
------------
Ho in mente solo la risoluzione del 4 problema,anche se non so se è quella esatta ovvero:
$B=[(1,1,2) (0,1,-1,) (1,2,0)]$ $ v= (0,0,1)$
$ ( ( 1),( 1),( 2 ))x + ( ( 0),( 1 ),( -1 ))y + ( ( 1 ),( 2 ),( 0 ))z = ( ( 0 ),( 0 ),( 1 )) $
Risolvo il sistema associato,e trovo le soluzioni (?)
------------
Grazie per l'eventuale aiuto !
Non so proprio da dove partite..
1) trovare il dominio e il codominio dell'applicazione lineare fA
2) Trovare la dimensione e una base dello spazio delle righe
3) Stabilire se un insieme è un sottospazio
4) Dato l'insieme $B=[(1,1,2) (0,1,-1,) (1,2,0)]$ determinare le cordinate del generico vettore $(0,0,1)$ rispetto a B
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Ho in mente solo la risoluzione del 4 problema,anche se non so se è quella esatta ovvero:
$B=[(1,1,2) (0,1,-1,) (1,2,0)]$ $ v= (0,0,1)$
$ ( ( 1),( 1),( 2 ))x + ( ( 0),( 1 ),( -1 ))y + ( ( 1 ),( 2 ),( 0 ))z = ( ( 0 ),( 0 ),( 1 )) $
Risolvo il sistema associato,e trovo le soluzioni (?)
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Grazie per l'eventuale aiuto !
Risposte
Ciao.
Se con $fA$ si intende l'applicazione lineare associata ad una matrice $A in M(m xx n;RR)$, il dominio e il codominio di $fA$, a meno di eventuali isomorfismi, coincidono rispettivamente con $RR^n$ e con $RR^m$.
Se si allude alle righe che costituiscono una matrice (probabilmente la stessa matrice $A$ del punto precedente...?), per calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale generato dai vettori riga è sufficiente calcolare il rango della matrice applicando, ad esempio, l'algoritmo di Gauss, che consente di ridurre la matrice data in una matrice triangolare superiore; da quest'ultima matrice così ottenuta, si ricava anche la base del sottospazio vettoriale generato dai vettori riga.
In generale, avendo uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ e avendo $W sube V$, si ha che $W$ è sottospazio vettoriale di $V$ se valgono queste tre condizioni:
a) $0inW$ (dove $0$ rappresenta il vettore nullo di $V$)
b) $v_1,v_2inW Rightarrow v_1+v_2inW$ (chiusura di $W$ rispetto alla somma di vettori definita in $V$)
c) $k in K,v in W Rightarrow kvinW$ (chiusura di $W$ rispetto al prodotto scalare-vettore definito in $V$)
Esatto, quindi devi risolvere il seguente sistema:
${(x+z=0),(x+y+2z=0),(2x-y=1):}$
Saluti.
"darakum":
1) trovare il dominio e il codominio dell'applicazione lineare fA
Se con $fA$ si intende l'applicazione lineare associata ad una matrice $A in M(m xx n;RR)$, il dominio e il codominio di $fA$, a meno di eventuali isomorfismi, coincidono rispettivamente con $RR^n$ e con $RR^m$.
"darakum":
2) Trovare la dimensione e una base dello spazio delle righe
Se si allude alle righe che costituiscono una matrice (probabilmente la stessa matrice $A$ del punto precedente...?), per calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale generato dai vettori riga è sufficiente calcolare il rango della matrice applicando, ad esempio, l'algoritmo di Gauss, che consente di ridurre la matrice data in una matrice triangolare superiore; da quest'ultima matrice così ottenuta, si ricava anche la base del sottospazio vettoriale generato dai vettori riga.
"darakum":
3) Stabilire se un insieme è un sottospazio
In generale, avendo uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ e avendo $W sube V$, si ha che $W$ è sottospazio vettoriale di $V$ se valgono queste tre condizioni:
a) $0inW$ (dove $0$ rappresenta il vettore nullo di $V$)
b) $v_1,v_2inW Rightarrow v_1+v_2inW$ (chiusura di $W$ rispetto alla somma di vettori definita in $V$)
c) $k in K,v in W Rightarrow kvinW$ (chiusura di $W$ rispetto al prodotto scalare-vettore definito in $V$)
"darakum":
4) Dato l'insieme $ B=[(1,1,2) (0,1,-1,) (1,2,0)] $ determinare le cordinate del generico vettore $ (0,0,1) $ rispetto a B
Ho in mente solo la risoluzione del 4 problema,anche se non so se è quella esatta ovvero:
$ B=[(1,1,2) (0,1,-1,) (1,2,0)] $ $ v= (0,0,1) $
$ ( ( 1),( 1),( 2 ))x + ( ( 0),( 1 ),( -1 ))y + ( ( 1 ),( 2 ),( 0 ))z = ( ( 0 ),( 0 ),( 1 )) $
Risolvo il sistema associato,e trovo le soluzioni (?)
Esatto, quindi devi risolvere il seguente sistema:
${(x+z=0),(x+y+2z=0),(2x-y=1):}$
Saluti.
Ciao grazie mille per l'aiuto!
1)
L'esercizio è il seguente:
" Determinare dominio e codominio della applicazione lineare $fA$, l’immagine del generico vettore $fA(x,y,z)$, la dimensione e una base di $Ker fA$ e $Im fA$, stabilire se il vettore $(-1,1,0,1)$ appartiene a $Im fA$
$u=(0,1,-1,1), v=(1,-2,3,0), w=(1,-1,2,1)$
Non ho ben capito cosa intendi..
2)
Quindi,prendendo i considerazione i vettori precedenti, $u=(0,1,-1,1), v=(1,-2,3,0), w=(1,-1,2,1)$
$( ( 0),( 1 ),( -1 ),(1))x + ( ( 1),( -2 ),( 3 ),(0))y + ( ( 1),( -1),( 2 ),(1))z = ( ( 0),( 0 ),( 0 ),(0))$
$\{(0x+y+z=0),(x-2y-z=0),(-x+3y+2z=0),(x+0y+z=0):} ------>$ $A= ((0,1,1),(1,-2,-1),(-1,3,2),(1,0,1))$
$Rg(A)= ((1,-2,-1),(0,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$ Quindi,cosa devo fare ora?
1)
"alessandro8":
"Se con $fA$ si intende l'applicazione lineare associata ad una matrice $A in M(m xx n;RR)$, il dominio e il codominio di $fA$, a meno di eventuali isomorfismi, coincidono rispettivamente con $RR^n$ e con $RR^m$."
L'esercizio è il seguente:
" Determinare dominio e codominio della applicazione lineare $fA$, l’immagine del generico vettore $fA(x,y,z)$, la dimensione e una base di $Ker fA$ e $Im fA$, stabilire se il vettore $(-1,1,0,1)$ appartiene a $Im fA$
$u=(0,1,-1,1), v=(1,-2,3,0), w=(1,-1,2,1)$
Non ho ben capito cosa intendi..
2)
"alessandro8":
"Se si allude alle righe che costituiscono una matrice (probabilmente la stessa matrice $A$ del punto precedente...?), per calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale generato dai vettori riga è sufficiente calcolare il rango della matrice applicando, ad esempio, l'algoritmo di Gauss, che consente di ridurre la matrice data in una matrice triangolare superiore; da quest'ultima matrice così ottenuta, si ricava anche la base del sottospazio vettoriale generato dai vettori riga."
Quindi,prendendo i considerazione i vettori precedenti, $u=(0,1,-1,1), v=(1,-2,3,0), w=(1,-1,2,1)$
$( ( 0),( 1 ),( -1 ),(1))x + ( ( 1),( -2 ),( 3 ),(0))y + ( ( 1),( -1),( 2 ),(1))z = ( ( 0),( 0 ),( 0 ),(0))$
$\{(0x+y+z=0),(x-2y-z=0),(-x+3y+2z=0),(x+0y+z=0):} ------>$ $A= ((0,1,1),(1,-2,-1),(-1,3,2),(1,0,1))$
$Rg(A)= ((1,-2,-1),(0,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$ Quindi,cosa devo fare ora?
"darakum":
L'esercizio è il seguente:
" Determinare dominio e codominio della applicazione lineare $fA$, l’immagine del generico vettore $fA(x,y,z)$, la dimensione e una base di $Ker fA$ e $Im fA$, stabilire se il vettore $(-1,1,0,1)$ appartiene a $Im fA$
$u=(0,1,-1,1), v=(1,-2,3,0), w=(1,-1,2,1)$
Non ci sono, per caso, altre ipotesi su $fA$?
Si è sicuri che il testo dell'esercizio sia unicamente composto da ciò che compare nella citazione?
Che ruolo dovrebbero giocare i vettori $u,v,w$?
Saluti.
"alessandro8":
[quote="darakum"]
L'esercizio è il seguente:
" Determinare dominio e codominio della applicazione lineare $fA$, l’immagine del generico vettore $fA(x,y,z)$, la dimensione e una base di $Ker fA$ e $Im fA$, stabilire se il vettore $(-1,1,0,1)$ appartiene a $Im fA$
$u=(0,1,-1,1), v=(1,-2,3,0), w=(1,-1,2,1)$
Non ci sono, per caso, altre ipotesi su $fA$?
Si è sicuri che il testo dell'esercizio sia unicamente composto da ciò che compare nella citazione?
Che ruolo dovrebbero giocare i vettori $u,v,w$?
Saluti.[/quote]
Ciao, l'esercizio compleo è il seguente :
Stabilire se i vettori u=(1,0,2,1), v=(0,1,1,-1), w=(1,-1,1,2) sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti usando:
a) La definizione
b) Le trasformazioni elementari
c) Il teorema degli orlati
d) Stabilire per quali valori di a,b,c e d il vettore (a,b,c,d) appartiene a L(u,v,w)
e) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A e se il sistema AX=0 ha altre soluzioni oltre quella nulla, determinare lo spazio S delle soluzioni del sistema, la dimensione e una base di S .
f) Determinare dominio e codominio della applicazione lineare fA, l’immagine del generico vettore fA(x,y,z), la dimensione e una base di Ker fA e Im fA, stabilire se il vettore (2,1,0,1) appartiene a Im fA
-----
Per quanto riguarda la risoluzione del punto due?
"darakum":
(...)
Per quanto riguarda la risoluzione del punto due?
In questo contesto, con "trasformazioni elementari" si fa riferimento alle trasformazioni che intervengono applicando l'algoritmo di Gauss; si tratta di applicare tale algoritmo alla matrice avente per righe i tre vettori assegnati, cioè alla matrice
$((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(1,-1,1,2))$
Saluti.
"alessandro8":
[quote="darakum"](...)
Per quanto riguarda la risoluzione del punto due?
In questo contesto, con "trasformazioni elementari" si fa riferimento alle trasformazioni che intervengono applicando l'algoritmo di Gauss; si tratta di applicare tale algoritmo alla matrice avente per righe i tre vettori assegnati, cioè alla matrice
$((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(1,-1,1,2))$
Saluti.[/quote]
Ciao ancora grazie per la risposta,ma mi sono espresso io male..Intendo per quanto riguarda la risoluzione al problema numero due che ho proposto all'inzio (Trovare la dimensione e una base dello spazio delle righe)..Ho seguito i tuoi passaggi e mi sono fermata alla risoluzione del rango:
$u=(0,1,-1,1), v=(1,-2,3,0), w=(1,-1,2,1)$
$( ( 0),( 1 ),( -1 ),(1))x + ( ( 1),( -2 ),( 3 ),(0))y + ( ( 1),( -1),( 2 ),(1))z = ( ( 0),( 0 ),( 0 ),(0))$
$\{(0x+y+z=0),(x-2y-z=0),(-x+3y+2z=0),(x+0y+z=0):} ------>$ $A= ((0,1,1),(1,-2,-1),(-1,3,2),(1,0,1))$
$Rg(A)= ((1,-2,-1),(0,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
----------------
Mentre per quanto riguarda la risoluzione del "trovare il dominio e il codominio dell'applicazione lineare fA" ?
Dunque...
In realtà si potrebbe osservare preliminarmente che $u=v+w$, per cui basterebbe già questo per affermare che i tre vettori sono linearmente dipendenti, ma, per venire all'esercizio, trattiamo i singoli punti (per il momento i primi due):
a) per verificare, secondo la definizione, la lineare indipendenza, o meno, dei tre vettori dati, si pone:
$au+bv+cw=0 Rightarrow a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$ con $a,b,c in RR$
quindi si deve risolvere il seguente sistema
${(a+c=0),(b-c=0),(2a+b+c=0),(a-b+2c=0):}$
da cui si ricava, con qualche conto, che le soluzioni sono infinite e soddisfano $c=b=-a$, quindi i vettori sono linearmente dipendenti.
b) verifichiamo la dipendenza lineare dei tre vettori usando l'algoritmo di Gauss:
$rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(1,-1,1,2))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,-1,-1,1))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,0,0,0))=2$
quindi i tre vettori sono linearmente dipendenti perchè essi generano uno spazio di dimensione pari a due.
Per il momento mi fermerei qui... ma, se servisse, potrei continuare.
Saluti.
"darakum":
Ciao, l'esercizio compleo è il seguente :
Stabilire se i vettori u=(1,0,2,1), v=(0,1,1,-1), w=(1,-1,1,2) sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti usando:
a) La definizione
b) Le trasformazioni elementari
c) Il teorema degli orlati
d) Stabilire per quali valori di a,b,c e d il vettore (a,b,c,d) appartiene a L(u,v,w)
e) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A e se il sistema AX=0 ha altre soluzioni oltre quella nulla, determinare lo spazio S delle soluzioni del sistema, la dimensione e una base di S .
f) Determinare dominio e codominio della applicazione lineare fA, l’immagine del generico vettore fA(x,y,z), la dimensione e una base di Ker fA e Im fA, stabilire se il vettore (2,1,0,1) appartiene a Im fA
In realtà si potrebbe osservare preliminarmente che $u=v+w$, per cui basterebbe già questo per affermare che i tre vettori sono linearmente dipendenti, ma, per venire all'esercizio, trattiamo i singoli punti (per il momento i primi due):
a) per verificare, secondo la definizione, la lineare indipendenza, o meno, dei tre vettori dati, si pone:
$au+bv+cw=0 Rightarrow a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$ con $a,b,c in RR$
quindi si deve risolvere il seguente sistema
${(a+c=0),(b-c=0),(2a+b+c=0),(a-b+2c=0):}$
da cui si ricava, con qualche conto, che le soluzioni sono infinite e soddisfano $c=b=-a$, quindi i vettori sono linearmente dipendenti.
b) verifichiamo la dipendenza lineare dei tre vettori usando l'algoritmo di Gauss:
$rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(1,-1,1,2))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,-1,-1,1))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,0,0,0))=2$
quindi i tre vettori sono linearmente dipendenti perchè essi generano uno spazio di dimensione pari a due.
Per il momento mi fermerei qui... ma, se servisse, potrei continuare.
Saluti.
"alessandro8":
Dunque...
[quote="darakum"]
Ciao, l'esercizio compleo è il seguente :
Stabilire se i vettori u=(1,0,2,1), v=(0,1,1,-1), w=(1,-1,1,2) sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti usando:
a) La definizione
b) Le trasformazioni elementari
c) Il teorema degli orlati
d) Stabilire per quali valori di a,b,c e d il vettore (a,b,c,d) appartiene a L(u,v,w)
e) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A e se il sistema AX=0 ha altre soluzioni oltre quella nulla, determinare lo spazio S delle soluzioni del sistema, la dimensione e una base di S .
f) Determinare dominio e codominio della applicazione lineare fA, l’immagine del generico vettore fA(x,y,z), la dimensione e una base di Ker fA e Im fA, stabilire se il vettore (2,1,0,1) appartiene a Im fA
In realtà si potrebbe osservare preliminarmente che $u=v+w$, per cui basterebbe già questo per affermare che i tre vettori sono linearmente dipendenti, ma, per venire all'esercizio, trattiamo i singoli punti (per il momento i primi due):
a) per verificare, secondo la definizione, la lineare indipendenza, o meno, dei tre vettori dati, si pone:
$au+bv+cw=0 Rightarrow a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$ con $a,b,c in RR$
quindi si deve risolvere il seguente sistema
${(a+c=0),(b-c=0),(2a+b+c=0),(a-b+2c=0):}$
da cui si ricava, con qualche conto, che le soluzioni sono infinite e soddisfano $c=b=-a$, quindi i vettori sono linearmente dipendenti.
b) verifichiamo la dipendenza lineare dei tre vettori usando l'algoritmo di Gauss:
$rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(1,-1,1,2))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,-1,-1,1))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,0,0,0))=2$
quindi i tre vettori sono linearmente dipendenti perchè essi generano uno spazio di dimensione pari a due.
Per il momento mi fermerei qui... ma, se servisse, potrei continuare.
Saluti.[/quote]
Ciao sei stato gentilissimo a risolvere i due punti purtroppo però proprio questi due li sapevo fare..ma noto comunque con piacere che mi trovo con il risultato..invece vorrei sapere se possibile,essere aiutato per quanto riguarda i punti E ed F che proprio non so da dove partite..Grazie ancora !
"darakum":
..invece vorrei sapere se possibile,essere aiutato per quanto riguarda i punti E ed F che proprio non so da dove partite..Grazie ancora !
A titolo di promemoria:
"darakum":
e) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A e se il sistema AX=0 ha altre soluzioni oltre quella nulla, determinare lo spazio S delle soluzioni del sistema, la dimensione e una base di S .
f) Determinare dominio e codominio della applicazione lineare fA, l’immagine del generico vettore fA(x,y,z), la dimensione e una base di Ker fA e Im fA, stabilire se il vettore (2,1,0,1) appartiene a Im fA
Per il momento risolvo il punto (e):
e) E' indifferente se i vettori vengono messi in riga, piuttosto che in colonna, ai fini del calcolo del rango; comunque abbiamo già calcolato che il rango della matrice formata dai tre vettori disposti in riga vale due; si aveva, infatti
$rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(1,-1,1,2))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,-1,-1,1))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,0,0,0))=2$
Per quanto riguarda il sistema $Ax=0$, dove la matrice $A in M(4 xx 3;RR)$ è data da
$A=((1,0,1),(0,1,-1),(2,1,1),(1,-1,2))$
essa può essere pensata come associata ad un'applicazione lineare $fA:RR^3 rightarrow RR^4$, il cui nucleo $KerfA$ coincide con lo spazio $S$ delle soluzioni del sistema; siccome $rkA=2$, per il teorema nullità+rango si deve avere
$dimS=dimKerL=1$
in effetti, risolvendo il sistema
$((1,0,1),(0,1,-1),(2,1,1),(1,-1,2))((x),(y),(z))=((0),(0),(0),(0))$
si arriva a trovare, che si deve avere $y=-x=z$, cioè che $KerfA=mathcalL{(1,-1,-1)}$.
Chiaro, fino a questo punto?
Saluti.
"darakum":
[quote="alessandro8"]Dunque...
[quote="darakum"]
Ciao, l'esercizio compleo è il seguente :
Stabilire se i vettori u=(1,0,2,1), v=(0,1,1,-1), w=(1,-1,1,2) sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti usando:
a) La definizione
b) Le trasformazioni elementari
c) Il teorema degli orlati
d) Stabilire per quali valori di a,b,c e d il vettore (a,b,c,d) appartiene a L(u,v,w)
e) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A e se il sistema AX=0 ha altre soluzioni oltre quella nulla, determinare lo spazio S delle soluzioni del sistema, la dimensione e una base di S .
f) Determinare dominio e codominio della applicazione lineare fA, l’immagine del generico vettore fA(x,y,z), la dimensione e una base di Ker fA e Im fA, stabilire se il vettore (2,1,0,1) appartiene a Im fA
In realtà si potrebbe osservare preliminarmente che $u=v+w$, per cui basterebbe già questo per affermare che i tre vettori sono linearmente dipendenti, ma, per venire all'esercizio, trattiamo i singoli punti (per il momento i primi due):
a) per verificare, secondo la definizione, la lineare indipendenza, o meno, dei tre vettori dati, si pone:
$au+bv+cw=0 Rightarrow a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$ con $a,b,c in RR$
quindi si deve risolvere il seguente sistema
${(a+c=0),(b-c=0),(2a+b+c=0),(a-b+2c=0):}$
da cui si ricava, con qualche conto, che le soluzioni sono infinite e soddisfano $c=b=-a$, quindi i vettori sono linearmente dipendenti.
b) verifichiamo la dipendenza lineare dei tre vettori usando l'algoritmo di Gauss:
$rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(1,-1,1,2))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,-1,-1,1))=rk((1,0,2,1),(0,1,1,-1),(0,0,0,0))=2$
quindi i tre vettori sono linearmente dipendenti perchè essi generano uno spazio di dimensione pari a due.
Per il momento mi fermerei qui... ma, se servisse, potrei continuare.
Saluti.[/quote]
Ciao sei stato gentilissimo a risolvere i due punti purtroppo però proprio questi due li sapevo fare..ma noto comunque con piacere che mi trovo con il risultato..invece vorrei sapere se possibile,essere aiutato per quanto riguarda i punti E ed F che proprio non so da dove partite..Grazie ancora !
[/quote]Ciao,grazie per l'aiuto!
Non ho capito bene la questione "se il sistema AX=0 ha altre soluzioni oltre quella nulla" come l'hai risolta e anche la questione Ker fA..
Sapendo che:
la somma della dimensione dell'immagine più la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio.In modo equivalente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice.
Come hai proceduto? Mi spieghi in maniera semplice questi miei due dubbi..Grazie
In generale, data un'applicazione lineare $f:V rightarrow W$ (con $V,W$ spazi vettoriali su un campo $K$), vale
$Kerf={v in V:f(v)=0}$
quindi, avendo la matrice $A$ associata a $f$, si ha
$x in Kerf={v in V:A*v=0} Leftrightarrow A*x=0 Leftrightarrow x in S=Sol(A,0)$
Cioè: l'insieme $S$ delle soluzioni del sistema omogeneo $A*x=0$ coincide con $Kerf$.
Nel caso dell'esercizio proposto, si aveva $fA:RR^3 rightarrow RR^4$, con $A$ matrice associata data da
$A=((1,0,1),(0,1,-1),(2,1,1),(1,-1,2))$
Il teorema nullità + rango afferma che, in generale, $dimV=dimKerf+dimImf=dimS+rkA$; nel caso dell'esercizio si ha:
$dimRR^3=dimKer(fA)+dimIm(fA)=dimS+rkA$
Siccome $dimRR^3=3$ e $rkA=2$, ne consegue che $dimKer(fA)=dimS=1$
quindi il sistema $A*x=0$ ammette altre soluzioni diverse da quella nulla, risolvendo il sistema, si trova che
$ KerfA=mathcalL{(1,-1,-1)} $.
Sono riuscito a chiarire meglio?
Saluti.
$Kerf={v in V:f(v)=0}$
quindi, avendo la matrice $A$ associata a $f$, si ha
$x in Kerf={v in V:A*v=0} Leftrightarrow A*x=0 Leftrightarrow x in S=Sol(A,0)$
Cioè: l'insieme $S$ delle soluzioni del sistema omogeneo $A*x=0$ coincide con $Kerf$.
Nel caso dell'esercizio proposto, si aveva $fA:RR^3 rightarrow RR^4$, con $A$ matrice associata data da
$A=((1,0,1),(0,1,-1),(2,1,1),(1,-1,2))$
Il teorema nullità + rango afferma che, in generale, $dimV=dimKerf+dimImf=dimS+rkA$; nel caso dell'esercizio si ha:
$dimRR^3=dimKer(fA)+dimIm(fA)=dimS+rkA$
Siccome $dimRR^3=3$ e $rkA=2$, ne consegue che $dimKer(fA)=dimS=1$
quindi il sistema $A*x=0$ ammette altre soluzioni diverse da quella nulla, risolvendo il sistema, si trova che
$ KerfA=mathcalL{(1,-1,-1)} $.
Sono riuscito a chiarire meglio?
Saluti.
"alessandro8":
In generale, data un'applicazione lineare $f:V rightarrow W$ (con $V,W$ spazi vettoriali su un campo $K$), vale
$Kerf={v in V:f(v)=0}$
quindi, avendo la matrice $A$ associata a $f$, si ha
$x in Kerf={v in V:A*v=0} Leftrightarrow A*x=0 Leftrightarrow x in S=Sol(A,0)$
Cioè: l'insieme $S$ delle soluzioni del sistema omogeneo $A*x=0$ coincide con $Kerf$.
Nel caso dell'esercizio proposto, si aveva $fA:RR^3 rightarrow RR^4$, con $A$ matrice associata data da
$A=((1,0,1),(0,1,-1),(2,1,1),(1,-1,2))$
Il teorema nullità + rango afferma che, in generale, $dimV=dimKerf+dimImf=dimS+rkA$; nel caso dell'esercizio si ha:
$dimRR^3=dimKer(fA)+dimIm(fA)=dimS+rkA$
Siccome $dimRR^3=3$ e $rkA=2$, ne consegue che $dimKer(fA)=dimS=1$
quindi il sistema $A*x=0$ ammette altre soluzioni diverse da quella nulla, risolvendo il sistema, si trova che
$ KerfA=mathcalL{(1,-1,-1)} $.
Sono riuscito a chiarire meglio?
Saluti.
Ciao,quello che mi hai scritto mi è chiato..Per quanto riguarda la questione $AX=O$ penso di averla capita,dimmi se sbaglio..Allora:
Un sistema lineare si dice omogeneo se i suoi termini noti sono tutti nulli. In forma
matriciale, un sistema omogeneo si scrive: $S : AX = O$ dove dove $A$ è la matrice dei coefficienti e O è il vettore colonna nullo.
Detto questo,se un esercizio mi chiede:
" Data la matrice $A= ((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(2,3,0,-1),(3,4,1,h))$ Studiare il sistema $AX=O$ ,al variare di h in R, e determinare la dimensione e una base dello spazio $S_h$ delle soluzioni del sistema. "
Non devo fare altro che risolvere il sistema associato alla matrice aggiungendo il vettore nullo $(0,0,0,0)$ ovvero:
$\{(x+y+w=0),(y+z-3w=0),(2x+3y-w=0),(3x+4y+z+hw=0):}$
Per quanto riguarda però la dimensione e una base dello spazio $S_h$ ancora non ci sono...
"darakum":
Per quanto riguarda però la dimensione e una base dello spazio $ S_h $ ancora non ci sono...
Applicando alla matrice $A$ l'algoritmo di Gauss, si ottiene (a meno di miei possibili errori di calcolo):
$rkA=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(2,3,0,-1),(3,4,1,h))=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(0,0,1,0),(0,0,0,h+6))$
Quindi:
$rkA={(4,text(se )h!=-6),(3,text(se )h=-6):}$
per cui, quando $h!=-6$, $A$ ha rango massimo e $S_h={(0,0,0,0)}$.
Per $h=-6$, il sistema dato si trasforma nel seguente (usando la matrice risultante dall'algoritmo di Gauss):
${(x+y+w=0),(y+z-3w=0),(z=0),(0=0):} Rightarrow {(x=-4w),(y=3w),(z=0):}$
Quindi
$S_h={(-4w,3w,0,w):w in RR}={w(-4,3,0,1):w in RR}=mathcalL{(-4,3,0,1)}$
Conclusioni:
1) per $h!=-6$ lo spazio $S_h$ è quello banale, quindi $dimS_h=0$;
2) per $h=-6$ lo spazio $S_h$ è quello generato dal vettore $(-4,3,0,1)$, quindi $dimS_h=1$; naturalmente lo stesso vettore costituisce una base dello spazio $S_h$.
Saluti.
"alessandro8":
[quote="darakum"]Per quanto riguarda però la dimensione e una base dello spazio $ S_h $ ancora non ci sono...
Applicando alla matrice $A$ l'algoritmo di Gauss, si ottiene (a meno di miei possibili errori di calcolo):
$rkA=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(2,3,0,-1),(3,4,1,h))=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(0,0,1,0),(0,0,0,h+6))$
Quindi:
$rkA={(4,text(se )h!=-6),(3,text(se )h=-6):}$
per cui, quando $h!=-6$, $A$ ha rango massimo e $S_h={(0,0,0,0)}$.
Per $h=-6$, il sistema dato si trasforma nel seguente (usando la matrice risultante dall'algoritmo di Gauss):
${(x+y+w=0),(y+z-3w=0),(z=0),(0=0):} Rightarrow {(x=-4w),(y=3w),(z=0):}$
Quindi
$S_h={(-4w,3w,0,w):w in RR}={w(-4,3,0,1):w in RR}=mathcalL{(-4,3,0,1)}$
Conclusioni:
1) per $h!=-6$ lo spazio $S_h$ è quello banale, quindi $dimS_h=0$;
2) per $h=-6$ lo spazio $S_h$ è quello generato dal vettore $(-4,3,0,1)$, quindi $dimS_h=1$; naturalmente lo stesso vettore costituisce una base dello spazio $S_h$.
Saluti.[/quote]
Non ho capito dove è uscito quel numero 6 posto vicino alla h..Sarà forse un errore di calcolo?
..La matrice di gauss svolta correttamente è la seguente:
$((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(0,0,-1,0),(0,0,0,h))$ e quindi,lo stesso mi trovo con il rango che è 4..
E' vero, avevo sbagliato io; ho ricontrollato i conti, anche a me viene
$rkA=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(2,3,0,-1),(3,4,1,h))=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(0,0,-1,0),(0,0,0,h))$
Quindi:
$ rkA={(4,text(se )h!=0),(3,text(se )h=0):} $
per cui, quando $ h!=0 $, $ A $ ha rango massimo e $ S_h={(0,0,0,0)} $.
Per $ h=0 $, il sistema dato si trasforma nel seguente (usando la matrice risultante dall'algoritmo di Gauss):
$ {(x+y+w=0),(y+z-3w=0),(-z=0),(0=0):} Rightarrow {(x=-4w),(y=3w),(z=0):} $
Quindi
$ S_h={(-4w,3w,0,w):w in RR}={w(-4,3,0,1):w in RR}=mathcalL{(-4,3,0,1)} $
Conclusioni:
1) per $ h!=0 $ lo spazio $ S_h $ è quello banale, quindi $ dimS_h=0 $;
2) per $ h=0 $ lo spazio $ S_h $ è quello generato dal vettore $ (-4,3,0,1) $, quindi $ dimS_h=1 $; naturalmente lo stesso vettore costituisce una base dello spazio $ S_h $.
Saluti.
$rkA=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(2,3,0,-1),(3,4,1,h))=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(0,0,-1,0),(0,0,0,h))$
Quindi:
$ rkA={(4,text(se )h!=0),(3,text(se )h=0):} $
per cui, quando $ h!=0 $, $ A $ ha rango massimo e $ S_h={(0,0,0,0)} $.
Per $ h=0 $, il sistema dato si trasforma nel seguente (usando la matrice risultante dall'algoritmo di Gauss):
$ {(x+y+w=0),(y+z-3w=0),(-z=0),(0=0):} Rightarrow {(x=-4w),(y=3w),(z=0):} $
Quindi
$ S_h={(-4w,3w,0,w):w in RR}={w(-4,3,0,1):w in RR}=mathcalL{(-4,3,0,1)} $
Conclusioni:
1) per $ h!=0 $ lo spazio $ S_h $ è quello banale, quindi $ dimS_h=0 $;
2) per $ h=0 $ lo spazio $ S_h $ è quello generato dal vettore $ (-4,3,0,1) $, quindi $ dimS_h=1 $; naturalmente lo stesso vettore costituisce una base dello spazio $ S_h $.
Saluti.
"alessandro8":
E' vero, avevo sbagliato io; ho ricontrollato i conti, anche a me viene
$rkA=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(2,3,0,-1),(3,4,1,h))=rk((1,1,0,1),(0,1,1,-3),(0,0,-1,0),(0,0,0,h))$
Quindi:
$ rkA={(4,text(se )h!=0),(3,text(se )h=0):} $
per cui, quando $ h!=0 $, $ A $ ha rango massimo e $ S_h={(0,0,0,0)} $.
Per $ h=0 $, il sistema dato si trasforma nel seguente (usando la matrice risultante dall'algoritmo di Gauss):
$ {(x+y+w=0),(y+z-3w=0),(-z=0),(0=0):} Rightarrow {(x=-4w),(y=3w),(z=0):} $
Quindi
$ S_h={(-4w,3w,0,w):w in RR}={w(-4,3,0,1):w in RR}=mathcalL{(-4,3,0,1)} $
Conclusioni:
1) per $ h!=0 $ lo spazio $ S_h $ è quello banale, quindi $ dimS_h=0 $;
2) per $ h=0 $ lo spazio $ S_h $ è quello generato dal vettore $ (-4,3,0,1) $, quindi $ dimS_h=1 $; naturalmente lo stesso vettore costituisce una base dello spazio $ S_h $.
Saluti.
Tutto chiaro,mi trovo anche io con i calcoli...Grazie per l'aiuto!!
Avrei un altra domanda da fare,mi spieghi i vari passaggi da fare per calcolare base e dimensione di Ker fA e Im fA ? Ho ancora tanti dubbi al riguardo..
Per esempio prendendo in considerazione una matrice semplice del tipo $((1,2),(1,2))$
Ancora grazie!
"darakum":
Avrei un altra domanda da fare,mi spieghi i vari passaggi da fare per calcolare base e dimensione di Ker fA e Im fA ? Ho ancora tanti dubbi al riguardo..
Per esempio prendendo in considerazione una matrice semplice del tipo $((1,2),(1,2))$
Bene.
Sia $A=((1,2),(1,2))$ la matrice associata all'applicazione lineare $f in End(RR^2)$; quindi la definizione esplicita di $f$ è data da:
$f(x,y)=(x+2y,x+2y)$
Applicando l'algoritmo di Gauss alla matrice $A$ si ha
$rkA=rk((1,2),(1,2))=rk((1,2),(0,0))=1=dimImf$
Per il teorema nullità+rango, si deve avere $dimKerf=1$.
Nucleo
Bisogna richiedere
$A*((x),(y))=((1,2),(1,2))*((x),(y))=((0),(0))$
oppure, equivalentemente
$f(x,y)=(x+2y,x+2y)=(0,0)$
Questo porta al seguente sistema:
${(x+2y=0),(x+2y=0):} Rightarrow x=-2y$ (risultato direttamente raggiungibile considerando il sistema con la matrice a scala)
Allora
$Kerf={(x,y) in RR^2:x=-2y}={(-2y,y) in RR^2:y in RR}={y(-2,1) in RR^2:y in RR}$
quindi
$Kerf=mathcalL{(-2,1)}$
il che conferma che $dimKerf=1$; il vettore $(-2,1)$ costituisce una base di $Kerf$.
Immagine
Si prende una base del dominio, per esempio la base canonica di $RR^2$
${(1,0),(0,1)}$
Allora:
$Imf=mathcalL{f(1,0),f(0,1)}=mathcalL{(1,1),(2,2)}=mathcalL{(1,1)}$
il che conferma il risultato $rkA=1=dimImf$; il vettore $(1,1)$ costituisce una base di $Imf$.
Saluti.
"alessandro8":
[quote="darakum"]
Avrei un altra domanda da fare,mi spieghi i vari passaggi da fare per calcolare base e dimensione di Ker fA e Im fA ? Ho ancora tanti dubbi al riguardo..
Per esempio prendendo in considerazione una matrice semplice del tipo $((1,2),(1,2))$
Bene.
Sia $A=((1,2),(1,2))$ la matrice associata all'applicazione lineare $f in End(RR^2)$; quindi la definizione esplicita di $f$ è data da:
$f(x,y)=(x+2y,x+2y)$
Applicando l'algoritmo di Gauss alla matrice $A$ si ha
$rkA=rk((1,2),(1,2))=rk((1,2),(0,0))=1=dimImf$
Per il teorema nullità+rango, si deve avere $dimKerf=1$.
Nucleo
Bisogna richiedere
$A*((x),(y))=((1,2),(1,2))*((x),(y))=((0),(0))$
oppure, equivalentemente
$f(x,y)=(x+2y,x+2y)=(0,0)$
Questo porta al seguente sistema:
${(x+2y=0),(x+2y=0):} Rightarrow x=-2y$ (risultato direttamente raggiungibile considerando il sistema con la matrice a scala)
Allora
$Kerf={(x,y) in RR^2:x=-2y}={(-2y,y) in RR^2:y in RR}={y(-2,1) in RR^2:y in RR}$
quindi
$Kerf=mathcalL{(-2,1)}$
il che conferma che $dimKerf=1$; il vettore $(-2,1)$ costituisce una base di $Kerf$.
Immagine
Si prende una base del dominio, per esempio la base canonica di $RR^2$
${(1,0),(0,1)}$
Allora:
$Imf=mathcalL{f(1,0),f(0,1)}=mathcalL{(1,1),(2,2)}=mathcalL{(1,1)}$
il che conferma il risultato $rkA=1=dimImf$; il vettore $(1,1)$ costituisce una base di $Imf$.
Saluti.[/quote]
Ciao,ancora grazie per l'aiuto.
Dunque:
Ho capito come calcolare $Im(f)$ e $ker(f)$ ovvero:
$Im(f)$ corrisponde al rango della matrice mentre $ker(f)$ corrisponde alla $dim V - Im(f)$
Ma non al meglio invece come trovare e scrivere successivamente una base di $imF$ e $kerf$
"darakum":
Ho capito come calcolare $Im(f)$ e $ker(f)$ ovvero:
$Im(f)$ corrisponde al rango della matrice mentre $ker(f)$ corrisponde alla $dim V - Im(f)$
Ma non al meglio invece come trovare e scrivere successivamente una base di $imF$ e $kerf$
Correzione: $dimIm(f)$ corrisponde al rango della matrice, mentre $dimKer(f)$ corrisponde a $dim V - dimIm(f)$.
Riguardo al resto, il mio esempio mostrava una procedura per ricavare i generatori dei due sottospazi; dopodichè bisognerà avere l'indipendenza lineare dei generatori affinchè questi ultimi costituiscano una base.
Nel caso in cui i generatori dovessero risultare linearmente dipendenti, basterà scartare i vettori "di troppo" (cioè i generatori dati da combinazione lineare degli altri generatori).
Saluti.
[xdom="@melia"]@ darakum
Quando rispondi ad un messaggio è assolutamente inutile quotarlo tutto. In alcuni casi hai quotato la risposta di alessandro8 comprese le citazioni.
Ti consiglio di leggere il regolamento del forum, in particolare il paragrafo 3, di cui ti porto una breve citazione:
3.15 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase.[/xdom]
Quando rispondi ad un messaggio è assolutamente inutile quotarlo tutto. In alcuni casi hai quotato la risposta di alessandro8 comprese le citazioni.
Ti consiglio di leggere il regolamento del forum, in particolare il paragrafo 3, di cui ti porto una breve citazione:
3.15 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase.[/xdom]
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