Valori di un parametro per cui un vettore è autovettore di una matrice

[ktmktm]

Buongiorno!
Sto facendo gli esercizi di una dispensa di algebra lineare in vista dell'esame e c'è questo esercizio la cui tipologia non è mai stata affrontata a lezione.
Ecco il testo:
" Per quale valore del parametro reale k il vettore (1,2,3) è autovettore di A?"
( -3 0 2)
A= ( 1 1 1)
( 1 1 k)

Non sapendo come affrontarlo ho provato a calcolare det (A-λI) per iniziare a trovare gli autovalori e poi da ognuno gli autovettori ma trovo questo:
-λ^3+λ^2(k-2)+λ(6+2k)-3k+3
e mi blocco perchè non so come ricavare da questo mostro gli autovalori.

Mi potreste cortesemente spiegare e dare la spiegazione svolta del procedimento per favore?
Grazie infinite, Alessandro

P.s.: la soluzione è k=2 e il relativo autovalore è λ=3

[Maci86]

Invece di fare tutta questa fatica, basta che moltiplichi il vettore per la matrice e vedi se questo è un multiplo o meno:
$((-3,0,2),(1,1,1),(1,1,k)) ((1),(2),(3))= ((3),(6),(1+2+3k))$
Si vede subito che è un autovettore se e solo è 3 volte il vettore originale, quindi
$1+2+3k=3*3=>k=2$
Quindi per $k=2$ è un autovettore con autovalore $3$

[ktmktm]

Sei stato chiarissimo, grazie mille Maci86!!