Valori di t per cui la matrice è diagonalizzabile
ho un problema che non riesco a risolvere:
dire per quali valori del parametro reale t la matrice $A_t$ è diagonalizzabile sui reali
$A_t=|(-t,0,1),(0,-2t^2,0),(-2t,0,0)|$
per prima cosa ho calcolato il polinomio caratteristico di $A_t-\lambda\I$ trovando così gli autovalori $\lambda\=-2t^2$ $\lambda\=(-t+sqrt(t^2+8t))/2$ e $\lambda\=(-t-sqrt(t^2+8t))/2$.
Ore perchè $A_t$ sia diagonalizzabile i suoi autovalori devono essere distinti dunque analizzo i casi in cui essi non lo siano:
1°CASO
$-2t^2=(-t+sqrt(t^2+8t))/2$
2°CASO
$-2t^2=(-t-sqrt(t^2+8t))/2$
3°CASO
$(-t+sqrt(t^2+8t))/2=(-t-sqrt(t^2+8t))/2$
Nel 1°CASO facendo i calcoli ottengo un polinomio di terzo grado $2t^3+t^2-1=0$. come faccio a risolvere questo polinomio?ho provato a risolvere con l'algoritmo di Ruffini, ma non ci sono riuscita...
dire per quali valori del parametro reale t la matrice $A_t$ è diagonalizzabile sui reali
$A_t=|(-t,0,1),(0,-2t^2,0),(-2t,0,0)|$
per prima cosa ho calcolato il polinomio caratteristico di $A_t-\lambda\I$ trovando così gli autovalori $\lambda\=-2t^2$ $\lambda\=(-t+sqrt(t^2+8t))/2$ e $\lambda\=(-t-sqrt(t^2+8t))/2$.
Ore perchè $A_t$ sia diagonalizzabile i suoi autovalori devono essere distinti dunque analizzo i casi in cui essi non lo siano:
1°CASO
$-2t^2=(-t+sqrt(t^2+8t))/2$
2°CASO
$-2t^2=(-t-sqrt(t^2+8t))/2$
3°CASO
$(-t+sqrt(t^2+8t))/2=(-t-sqrt(t^2+8t))/2$
Nel 1°CASO facendo i calcoli ottengo un polinomio di terzo grado $2t^3+t^2-1=0$. come faccio a risolvere questo polinomio?ho provato a risolvere con l'algoritmo di Ruffini, ma non ci sono riuscita...
Risposte
Un pochetto più semplice...
Avrai due soluzioni, per il polinomio caratteristico, coincidenti se il discriminante è zero, altrimenti se vuoi due soluzioni reali distinte basta solamente che il discriminante sia maggiore di zero.
Avrai due soluzioni, per il polinomio caratteristico, coincidenti se il discriminante è zero, altrimenti se vuoi due soluzioni reali distinte basta solamente che il discriminante sia maggiore di zero.
scusa penso di non aver capito a cosa ti riferisci...il polinomio caratteristico è $(-\lambda\-2t^2)(\lambda\^2+t\lambda\-2t)$
a me servono soluzioni distinte (per cui il discriminante è maggiore di 0), ma il mio problema è che svolgendo i calcoli arrivo a quel polinomio di terzo grado che non riesco a risolvere...
a me servono soluzioni distinte (per cui il discriminante è maggiore di 0), ma il mio problema è che svolgendo i calcoli arrivo a quel polinomio di terzo grado che non riesco a risolvere...
Se $t^2+8=0$ hai almeno due soluzioni coincidenti, quindi bisogna toglierle, se è maggiore di zero hai:
Caso 1)
$-4t^2=-t+sqrt(t^2+8t)$
$t-4t^2=sqrt(t^2+8t) Rightarrow$ soluzione solo se $0<=t<=1/4$
$t^2+16t^4 - 8t^3 = t^2+8t$
da cui:
$t(2t^3-t^2-t)=0$
$t(t-1)(2t^2+t+1)=0$
che ha come soluzioni: $t=0$, $t=1$, le altre due sono complesse coniugate.
Caso 2)
$-4t^2=-t-sqrt(t^2+8t)$
$4t^2-1=sqrt(t^2+8t) Rightarrow$ soluzione solo se $t<=0$, $t>=1/4$
$t^2+16t^4 - 8t^3 = t^2+8t$
da cui:
$t(2t^3-t^2-1)=0$
$t(t-1)(2t^2+t+1)=0$
che ha come soluzioni: $t=0$, $t=1$, le altre due sono complesse coniugate. Basta quindi che $t!=0$ e $t!=1$
Caso 3)
Ti basta che $t^2+8t!=0$
Caso 1)
$-4t^2=-t+sqrt(t^2+8t)$
$t-4t^2=sqrt(t^2+8t) Rightarrow$ soluzione solo se $0<=t<=1/4$
$t^2+16t^4 - 8t^3 = t^2+8t$
da cui:
$t(2t^3-t^2-t)=0$
$t(t-1)(2t^2+t+1)=0$
che ha come soluzioni: $t=0$, $t=1$, le altre due sono complesse coniugate.
Caso 2)
$-4t^2=-t-sqrt(t^2+8t)$
$4t^2-1=sqrt(t^2+8t) Rightarrow$ soluzione solo se $t<=0$, $t>=1/4$
$t^2+16t^4 - 8t^3 = t^2+8t$
da cui:
$t(2t^3-t^2-1)=0$
$t(t-1)(2t^2+t+1)=0$
che ha come soluzioni: $t=0$, $t=1$, le altre due sono complesse coniugate. Basta quindi che $t!=0$ e $t!=1$
Caso 3)
Ti basta che $t^2+8t!=0$
grazie mille ora ho capito!!
se gli autovalori sono tutti distinti allora la matrice è diagonalizzabile, non è vero il viceversa basta prendere l'identità ha tutti autovalori 1 ed è diagonale. Non devi escludere il caso in cui gli autovalori sono uguali devi però fare un controllo in più: la molteplicità geometrica deve essere uguale a quella algebrica. Spero di non aver frainteso il problema. ciao
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