Valori di h tale che KerF contenuto in ImF
Salve ragazzi,innanzitutto grazie per i dubbi che mi fugate ogni giorno grazie alla presenza del vostro forum,ho trovato veramente di tutto.
Sto preparando lo scritto di algebra lineare e sto perdendo la testa con un esercizio riguardante un endomorfismo:
F (x, y, z) = (x + 2y, hy + hz, y + z) definito in R^3
Di questo endomorfismo,dipendente dal parametro h,mi si chiede di determinare i valori di h tali che KerF è contenuto in ImF .
Di primo acchitto mi sembrava abbastanza semplice in quanto intendevo applicare il teorema delle dimensione che afferma che R^3= dim ImF + dim KerF,tuttavia mi sono bloccato perchè non riesco a relazionare le dimensioni dato che in entrambi i casi ,sia KerF che Imf sono dipendenti da h,come del resto tutto l'endomorfismo.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie anticipatamente,spero di non aver riproposto un esercizio già fatto ma proprio non ho trovato nulla nella fattispecie di questo esercizio
Sto preparando lo scritto di algebra lineare e sto perdendo la testa con un esercizio riguardante un endomorfismo:
F (x, y, z) = (x + 2y, hy + hz, y + z) definito in R^3
Di questo endomorfismo,dipendente dal parametro h,mi si chiede di determinare i valori di h tali che KerF è contenuto in ImF .
Di primo acchitto mi sembrava abbastanza semplice in quanto intendevo applicare il teorema delle dimensione che afferma che R^3= dim ImF + dim KerF,tuttavia mi sono bloccato perchè non riesco a relazionare le dimensioni dato che in entrambi i casi ,sia KerF che Imf sono dipendenti da h,come del resto tutto l'endomorfismo.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie anticipatamente,spero di non aver riproposto un esercizio già fatto ma proprio non ho trovato nulla nella fattispecie di questo esercizio
Risposte
La matrice associata ad F è :
$M=((1,2,0),(0,h,h),(0,1,1))$
Poiché $det(M)=0, det ((1,2),(0,1))=1 ne 0$, segue, quale che sia h, che:
$dim(Im(F)))=rank(M)=2,dim(Ker(F))=3-2=1$
Allora, come è noto, una base di Im(F) può essere formata da due vettori-colonna di M l.i. In particolare :
$Im(F)={ ((1),(0),(0)),((2),(h),(1)) }$
Per avere invece una base del Ker occorre risolvere il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x+2y=0\\hy+hz=0\\y+z=0\end{cases} \)
da cui si ricava che: $x=-2y,z=-y$
Pertanto, scegliendo $y=-1$, risulta :
$Ker(F)={ ((2),(-1),(1)) }$
Affinché sia $Ker(F) subset Im(F)$, è sufficiente imporre che il vettore $((2),(-1),(1))$ sia combinazione lineare
dei vettori che compongono la base di Im(F):
$((2),(-1),(1))=lambda((1),(0),(0))+mu((2),(h),(1))$
Da qui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}\lambda+2 \mu=2\\\mu h=-1\\\mu=1\end{cases} \)
Che ha la soluzione: $lambda=0, mu=1, h=-1$
Si può quindi concludere che c'è un solo valore di h che risolve la questione: $h=-1$
A tanto si può giungere anche più semplicemente osservando che per $h=-1 $ il vettore $ ((2),(h),(1)) $ di Im(F) s'identifica col vettore $((2),(-1),(1))$ di Ker(F).
$M=((1,2,0),(0,h,h),(0,1,1))$
Poiché $det(M)=0, det ((1,2),(0,1))=1 ne 0$, segue, quale che sia h, che:
$dim(Im(F)))=rank(M)=2,dim(Ker(F))=3-2=1$
Allora, come è noto, una base di Im(F) può essere formata da due vettori-colonna di M l.i. In particolare :
$Im(F)={ ((1),(0),(0)),((2),(h),(1)) }$
Per avere invece una base del Ker occorre risolvere il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x+2y=0\\hy+hz=0\\y+z=0\end{cases} \)
da cui si ricava che: $x=-2y,z=-y$
Pertanto, scegliendo $y=-1$, risulta :
$Ker(F)={ ((2),(-1),(1)) }$
Affinché sia $Ker(F) subset Im(F)$, è sufficiente imporre che il vettore $((2),(-1),(1))$ sia combinazione lineare
dei vettori che compongono la base di Im(F):
$((2),(-1),(1))=lambda((1),(0),(0))+mu((2),(h),(1))$
Da qui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}\lambda+2 \mu=2\\\mu h=-1\\\mu=1\end{cases} \)
Che ha la soluzione: $lambda=0, mu=1, h=-1$
Si può quindi concludere che c'è un solo valore di h che risolve la questione: $h=-1$
A tanto si può giungere anche più semplicemente osservando che per $h=-1 $ il vettore $ ((2),(h),(1)) $ di Im(F) s'identifica col vettore $((2),(-1),(1))$ di Ker(F).
Grazie mille,mi hai illuminato,ora è tutto chiaro!!
Grazieee ancoraaaa
Grazieee ancoraaaa
Solo una piccola cosa nn mi è chiara,come mai hai usato la matrice associata per avere la dim di Imf?
Non bastava usare i vettori ,disposti per riga?
Non bastava usare i vettori ,disposti per riga?
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