Unione di sottospazi vettoriali

[Zuzzerello1]

Salve!! Ripetevo alcuni dei concetti di base sugli spazi vettoriali.... Mentre intersezioni arbitrarie di sottospazi vettoriali restituiscono sempre uno spazio vettoriale, in generale unioni arbitrarie di sottospazi vettoriali non restituisce uno spazio vettoriale.. Basta un controesempio per dimostrarlo.. Tuttavia mi piacerebbe sapere quali sono quei "casi speciali" in cui unioni di sottospazi restituiscono un sottospazio vettoriale.. Innanzitutto, diamo dei nomi! Consideriamo un generico spazio vettoriale $V$ su un generico campo $\mathbb{K}$ e $U$ e $W$, sottospazi vettoriali di $V$. Se $U$ è sottospazio vettoriale di $W$ (o anche se $W$ è sottospazio vettoriale di $U$) allora la loro unione restituisce un sottospazio vettoriale di $V$ (si può estendere a più sottospazi, purché siano "incapsulati"). Ora, secondo me non ve ne sono altri.. Ma è possibile che mi sia sfuggito qualcosa.. Quindi vi chiedo: vi sono altri casi in cui unioni di sottospazi vettoriali restituiscono un sottospazio vettoriale?

[garnak.olegovitc1]

@Zuzzerello,

"Zuzzerello":Salve!! Ripetevo alcuni dei concetti di base sugli spazi vettoriali.... Mentre intersezioni arbitrarie di sottospazi vettoriali restituiscono sempre uno spazio vettoriale, in generale unioni arbitrarie di sottospazi vettoriali non restituisce uno spazio vettoriale.. Basta un controesempio per dimostrarlo.. Tuttavia mi piacerebbe sapere quali sono quei "casi speciali" in cui unioni di sottospazi restituiscono un sottospazio vettoriale.. Innanzitutto, diamo dei nomi! Consideriamo un generico spazio vettoriale $V$ su un generico campo $\mathbb{K}$ e $U$ e $W$, sottospazi vettoriali di $V$. Se $U$ è sottospazio vettoriale di $W$ (o anche se $W$ è sottospazio vettoriale di $U$) allora la loro unione restituisce un sottospazio vettoriale di $V$ (si può estendere a più sottospazi, purché siano "incapsulati"). Ora, secondo me non ve ne sono altri.. Ma è possibile che mi sia sfuggito qualcosa.. Quindi vi chiedo: vi sono altri casi in cui unioni di sottospazi vettoriali restituiscono un sottospazio vettoriale?

mm , premetto che mi sembra di aver capito, solo e soltanto, che una delle tue osservazioni è la seguente proprietà:

Siano dati \( E \) uno spazio vettoriale, ed \( F,G \) due suoi sottospazi, allora \( F \cup G \) è sottospazio vettoriale se e solo se \( F \subseteq G \) o \( G \subseteq F \)

ora questa proprietà è facilmente dimostrabile... non capisco però cosa intendi per "si può estendere a più sottospazi, purché siano "incapsulati""....prova ad essere leggermente più formale!!
Cordiali saluti

[Zuzzerello1]

Ciao! Mi scuso per la poca chiarezza!!

Siano dati $E$ uno spazio vettoriale, ed $F,G$ due suoi sottospazi, allora $F \cup G$ è sottospazio vettoriale se e solo se $F \subseteq G$ o $G \subseteq F$

Ok! Partiamo da questa proprietà (era quella che esponevo anch'io): come dicevo prima, estendiamola a più sottospazi! Dati i sottospazi $F_1,...,F_n$ dello spazio vettoriale $E$.. La loro unione è un sottospazio se e solo se almeno uno di essi contiene tutti gli altri come sottospazi..
Ora, mi chiedevo (anche se sono abbastanza sicuro che non è così): potrebbero esserci altri casi in cui l'unione restituisce un sottospazio?

[garnak.olegovitc1]

@Zuzzerello,
capito capito... in sostanza ti interessa valutare l'unione finita di sottospazi vettoriali quando è sottospazio vettoriale...
Saluti

P.S.=Premetto che la questione è nuova anche per me.. io ho lavorato più su intersezione e somma di sottospazi..

[Zuzzerello1]

Capisco.. Mi piacerebbe passare in rassegna i casi in cui l'unione di una quantità arbitraria (ma finita) di sottospazi restituisce un sottospazio... Oltre al caso da me enunciato ve ne sono altri?
Grazie delle risposte comunque