Unicita' della scrittura di un vettore
Ciao,
innanzi tutto mi scuso, perche' son abbastanza sicuro che avevo gia' fatto questa domanda in passato da qualche parte (o gia' letto a proposito), ma non lo trovo
Quindi ri-chiedo, sperando di non essere troppo di disturbo.
In un esercizio mi vengono dati due sottospazi di $RR^4$:
$W={(x, y, w, z) \in RR^4 | x= y, z = w}$ Quindi ho trovato la base ${(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}$ e
$U={(-1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 2), (1, 0, 0, 1)}$ che togliendo l'ultimo vettore (essendo dipendente dai primi due) risulta essere una base di U.
Poi viene chiesto di mostrare che $RR^4 = W \oplus U$, cosa che faccio mostrando che l'intersezione dei due insiemi e' ${0}$ e che ogni vettore di $RR^4$ puo' essere scritto come somma di due elementi di $U$ e $W$.
A questo punto chiede di scrivere due vettori $(1, 2, 3, 4)$ e un generico $(x, y, z, w)$ come combinazione lineare di due vettori di $W$ e $U$.
Inoltre, chiede se queste due scritture sono uniche.
Io ho scritto i due vettori sopra citati come combinazioni lineari delle due basi di W e U. Questa scrittura mi sembra unica, perche' ovviamente se faccio la combinazione lineare, trovo dei coefficienti unici che vanno moltiplicati ai vettori della base.
Pero' la domanda chiedeva "scrivi il vettore come somma di un elemento di W e uno di U". Quindi non per forza le basi. A mio modo di vedere le cose, se solo cambiassi la base, nella combinazione lineare sarebbero necessari diversi coefficienti, quindi la scrittura non sarebbe piu' unica.
Tra l'altro, per ora ho trovato un solo teorema che parla di "unicita'", pero' si parla di applicazioni lineari
E io non capisco come collegare questo fatto all'esercizio sopra... (Sempre se le due cose siano collegabili). Ma ci posso provare:
l'insieme $V$ del teorema, sarebbe $U + W$ e l'insieme $W$ sarebbe $RR^4$... Quindi l'applicazione unica sarebbe la scrittura, quindi nella matrice associata alla funzione ci sarebbero i coefficienti che ho dato nella combinazione lineare delle basi... (Il che mi sembra anche abbastanza sensato).
Pero' mi rimane un dubbio: ok che, come dice il teorema, la funzione e' unica... Ma ovviamente dipende dalla base, giusto?? Perche' se cambiassi la base, la matrice associata cambierebbe e quindi anche la funzione.
Pillola azzurra: mi dite che ho sbagliato. Quindi non ho capito una fava, domani mi svegliero' e credero' a quello che dice il libro.
Pillola rossa: ho capito qualcosa e potro' procedere nel vedere quant'e' profondo la tana della matematica.
(Grazie!)
innanzi tutto mi scuso, perche' son abbastanza sicuro che avevo gia' fatto questa domanda in passato da qualche parte (o gia' letto a proposito), ma non lo trovo
Quindi ri-chiedo, sperando di non essere troppo di disturbo.In un esercizio mi vengono dati due sottospazi di $RR^4$:
$W={(x, y, w, z) \in RR^4 | x= y, z = w}$ Quindi ho trovato la base ${(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}$ e
$U={(-1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 2), (1, 0, 0, 1)}$ che togliendo l'ultimo vettore (essendo dipendente dai primi due) risulta essere una base di U.
Poi viene chiesto di mostrare che $RR^4 = W \oplus U$, cosa che faccio mostrando che l'intersezione dei due insiemi e' ${0}$ e che ogni vettore di $RR^4$ puo' essere scritto come somma di due elementi di $U$ e $W$.
A questo punto chiede di scrivere due vettori $(1, 2, 3, 4)$ e un generico $(x, y, z, w)$ come combinazione lineare di due vettori di $W$ e $U$.
Inoltre, chiede se queste due scritture sono uniche.
Io ho scritto i due vettori sopra citati come combinazioni lineari delle due basi di W e U. Questa scrittura mi sembra unica, perche' ovviamente se faccio la combinazione lineare, trovo dei coefficienti unici che vanno moltiplicati ai vettori della base.
Pero' la domanda chiedeva "scrivi il vettore come somma di un elemento di W e uno di U". Quindi non per forza le basi. A mio modo di vedere le cose, se solo cambiassi la base, nella combinazione lineare sarebbero necessari diversi coefficienti, quindi la scrittura non sarebbe piu' unica.
Tra l'altro, per ora ho trovato un solo teorema che parla di "unicita'", pero' si parla di applicazioni lineari
"Teorema (dal Facchini)":
Siano $V$, $W$ spazi vettoriali sullo stesso campo $K$, ${v_1, v_2, ..., v_n}$ una base di $V$ e $(w_1, w_2, ..., w_n)$ una n-upla di vettori di W. Allora esiste un'unica applicazione lineare $f:V\rightarrow W$ tale che $f(v_i) = w_i$ per ogni $i = 1, 2, ..., n$.
E io non capisco come collegare questo fatto all'esercizio sopra... (Sempre se le due cose siano collegabili). Ma ci posso provare:
l'insieme $V$ del teorema, sarebbe $U + W$ e l'insieme $W$ sarebbe $RR^4$... Quindi l'applicazione unica sarebbe la scrittura, quindi nella matrice associata alla funzione ci sarebbero i coefficienti che ho dato nella combinazione lineare delle basi... (Il che mi sembra anche abbastanza sensato).
Pero' mi rimane un dubbio: ok che, come dice il teorema, la funzione e' unica... Ma ovviamente dipende dalla base, giusto?? Perche' se cambiassi la base, la matrice associata cambierebbe e quindi anche la funzione.
Pillola azzurra: mi dite che ho sbagliato. Quindi non ho capito una fava, domani mi svegliero' e credero' a quello che dice il libro.
Pillola rossa: ho capito qualcosa e potro' procedere nel vedere quant'e' profondo la tana della matematica.
(Grazie!)
Risposte
Secondo me non è unica, ossia è unica se si fissa una base, altrimenti cambiando la base cambia l'applicazione lineare....ad esempio:
sia $B_1=(b_1, b_2, b_3)$ una base di $RR^3$ con $b_1=(1,0,0)$, $b_2=(0,1,0)$ e $b_3=(0,0,1)$ e $B_2=(b_4, b_5, b_6)$ un'altra base di $RR^3$ con $b_4=(1,1,1)$, $b_5=(0,1,0)$ e $b_6=(0,0,1)$....
ora il vettore $v=(1,2,2)$ se utilizzo la base $B_1$ sarà dato da
$b_1+2*b_2+2*b_3=(1,0,0)+2*(0,1,0)+2*(0,0,1)=(1,2,2)$
mentre se utilizzo la base $B_2$ l'applicazione sarà
$b_4+b_5+b_6=(1,1,1)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,2,2)$
L'applicazioni che permette di scrivere $v$ cambia a seconda della base utilizzata
sia $B_1=(b_1, b_2, b_3)$ una base di $RR^3$ con $b_1=(1,0,0)$, $b_2=(0,1,0)$ e $b_3=(0,0,1)$ e $B_2=(b_4, b_5, b_6)$ un'altra base di $RR^3$ con $b_4=(1,1,1)$, $b_5=(0,1,0)$ e $b_6=(0,0,1)$....
ora il vettore $v=(1,2,2)$ se utilizzo la base $B_1$ sarà dato da
$b_1+2*b_2+2*b_3=(1,0,0)+2*(0,1,0)+2*(0,0,1)=(1,2,2)$
mentre se utilizzo la base $B_2$ l'applicazione sarà
$b_4+b_5+b_6=(1,1,1)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,2,2)$
L'applicazioni che permette di scrivere $v$ cambia a seconda della base utilizzata
Ok! Come pensavo 
Vediamo se ci sono altre idee!
Intanto grazie, Alexp
Vediamo se ci sono altre idee!Intanto grazie, Alexp
"akiross":
A questo punto chiede di scrivere due vettori $(1, 2, 3, 4)$ e un generico $(x, y, z, w)$ come combinazione lineare di due vettori di $W$ e $U$.
Inoltre, chiede se queste due scritture sono uniche.
Scusa il disturbo, ma potresti esplicitare meglio questa frase? Non l'ho capita bene. (Ignorami pure se non hai tempo
)
Eh, e' esattamente questo il punto Neanche io ho capito bene cosa intende... Ma l'esercizio chiede esattamente quello: "questa scrittura e' unica?"
Per come la intendo io, intende sapere se esiste solo un modo per rappresentare quel vettore come somma di due elementi di U e W... Quindi no, perche' almeno cambiando le basi alcuni coefficienti cambiano...
Io come risposta darei: "la scrittura e' unica rispetto ad una singola base".
Neanche io ho capito bene cosa intende... Ma l'esercizio chiede esattamente quello: "questa scrittura e' unica?"Per come la intendo io, intende sapere se esiste solo un modo per rappresentare quel vettore come somma di due elementi di U e W... Quindi no, perche' almeno cambiando le basi alcuni coefficienti cambiano...
Io come risposta darei: "la scrittura e' unica rispetto ad una singola base".
....
EDIT: Detto scemata.
EDIT: Detto scemata.
"amel":
Vediamo se riesco a spiegarmi. $(1,2,3,4)$ appartiene a $W$, ma non a $U$ chiaramente (quindi posso scrivere $(1,2,3,4)$ solo come combinazione lineare di vettori di $W$ e non di $U$, quello intendevo...).
No aspetta, forse s'e' fatta confusione: $(1,2,3,4)$ non appartiene a $W$! Appartiene solo a $RR^4$ che e' uguale a $U \oplus W$. Per questo e' necessario esprimere questo vettore come somma di un elemento di $U$ e uno di $W$.
"amel":
Ora se io prendo una coppia di vettori qualsiasi di $W$, evidentemente non è detto che la scrittura di $(1,2,3,4)$ come combinazione lineare di tali vettori sia unica. Esempio scemo:
$(1,2,3,4)=1/2(2,4,6,8)+0(3,6,9,12)=0(2,4,6,8)+1/3(3,6,9,12)$
Certo, ma questa e' la combinazione lineare di due vettori in $RR^4$ (stesso discorso di prima).
"amel":
Quando, invece, la scrittura di $(1,2,3,4)$ come combinazione lineare di due vettori di $W$ è unica? Quando essi sono un insieme di vettori linearmente indipendenti.
Che e', in effetti, il caso di un vettore di W e uno di U, poiche' la loro somma diretta risulta essere $RR^4$, allora la loro intersezione e' il vettore nullo, pertanto due vettori qualsiasi dei due insiemi dovrebbero essere linearmente indipendenti, quindi la scrittura e' unica (rispetto ad una certa base).
Hai ragione scusa, mi sono bevuto il cervello. 
Hai perfettamente ragione, scusa ancora per averti messo nei casini.
Hai perfettamente ragione, scusa ancora per averti messo nei casini.
No no, tranquillo Fraintendimento, capitano.
Comunque ho tratto qualche nozione da quel che hai scritto quindi va bene comunque
Grazie!
Ciauz!
Fraintendimento, capitano.Comunque ho tratto qualche nozione da quel che hai scritto quindi va bene comunque
Grazie!
Ciauz!
Beh penso che quando chiede se la scrittura di un vettore sia unica, credo intenda se esista una e una sola combinazione di vettori, uno di V e uno di W che lo esprimono.
Questo dipende dalla dimensione dell'intersezione di V e W. Facciamo un esempio banale quanto chiarificante su $RR^2$. Ho due sottospazi:
$V = ((1,2),(1,1))$ e $W = ((0,1))$
la dimensione dell'intersezione è 1 (W è contenuto in V ma non è importante ai fini del problema)
vediamo se il vettore $(1,3)$ si può scrivere come combinazione unica di un vettore di V e uno di W o se esiste più di una combinazione:
Beh ci sono due combinazioni che fanno al caso nostro:
$ ((1,2)) + ((0,1)) = ((1,3))$
ma anche
$ ((1,1)) + 2((0,1))$
questo dimostra che la combinazione non è unica.
Supponiamo invece che i due sottospazi abbiano intersezione nulla, facciamo $V = ((0,1))$ e $W = ((1,0))$
Ogni vettore di $RR^2$ può essere scritto in maniera unica come combinazione di un vettore di V e uno di W, infatti se
$a((0,1)) + b ((1,0))= ((x,y))$ e $c((0,1)) + d ((1,0)) = ((x,y))$ sono due modi di scrivere il vettore $((x,y))$
allora:
$a((0,1)) + b ((1,0)) - c((0,1)) + d ((1,0)) = ((x,y)) - ((x,y)) = 0$ allora posso raccogliere ottenendo:
$(a - c) ((0,1)) + (b - d) ((1,0)) = ((0,0))$
quindi a = c e b = d, come volevasi dimostrare.
Se vuoi approfondire di più l'argomento studia la somma diretta di sottospazi. Spero di essere stato chiaro, e di aver capito quello che volevi sapere
Questo dipende dalla dimensione dell'intersezione di V e W. Facciamo un esempio banale quanto chiarificante su $RR^2$. Ho due sottospazi:
$V = ((1,2),(1,1))$ e $W = ((0,1))$
la dimensione dell'intersezione è 1 (W è contenuto in V ma non è importante ai fini del problema)
vediamo se il vettore $(1,3)$ si può scrivere come combinazione unica di un vettore di V e uno di W o se esiste più di una combinazione:
Beh ci sono due combinazioni che fanno al caso nostro:
$ ((1,2)) + ((0,1)) = ((1,3))$
ma anche
$ ((1,1)) + 2((0,1))$
questo dimostra che la combinazione non è unica.
Supponiamo invece che i due sottospazi abbiano intersezione nulla, facciamo $V = ((0,1))$ e $W = ((1,0))$
Ogni vettore di $RR^2$ può essere scritto in maniera unica come combinazione di un vettore di V e uno di W, infatti se
$a((0,1)) + b ((1,0))= ((x,y))$ e $c((0,1)) + d ((1,0)) = ((x,y))$ sono due modi di scrivere il vettore $((x,y))$
allora:
$a((0,1)) + b ((1,0)) - c((0,1)) + d ((1,0)) = ((x,y)) - ((x,y)) = 0$ allora posso raccogliere ottenendo:
$(a - c) ((0,1)) + (b - d) ((1,0)) = ((0,0))$
quindi a = c e b = d, come volevasi dimostrare.
Se vuoi approfondire di più l'argomento studia la somma diretta di sottospazi. Spero di essere stato chiaro, e di aver capito quello che volevi sapere
Grazie Zkeggia, sei stato chiaro
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