Un'altra definizione di [tex]T^{\star}_pM[/tex]
C'è per caso un geometra differenziale in ascolto, in questa gelida domenica di febbraio, per piacere? Ho bisogno di una mano su un classico esercizio.
Sia $M$ una varietà differenziabile (reale) e $p \in M$. Ho definito lo spazio tangente a $M$ in $p$ in due modi: dapprima come spazio delle derivazioni ($RR$-lineari) dei germi in $p$, poi come quoziente dell'insieme delle curve (differenziabili) che passano per $p$ al tempo $t=0$. Quindi ho mostrato che esiste un isomorfismo canonico (di spazi vettoriali) tra le due costruzioni.
Ora, definisco [tex]T^{\star}_pM:=(T_pM)^{\star}[/tex] e guadagno subito la base (canonica) duale.
Esercizio. Sia $F_p$ la spiga dei germi in $p$ e sia
\[
I_p:=\{f \in F_p: f(p)=0\}.
\]
Osservato che $I_p$ è un ideale (dell'algebra sui reali $F_p$), dimostrare che
\[
I_p /I_p^2 \simeq T^{\star}_pM.
\]
Francamente, sono un po' perplesso. Nel quoziente ho [classi di equivalenza di] funzioni che si annullano in $p$ modulo $I_p^2$: in altre parole, ho funzioni nulle in $p$ che "non sentono" l'aggiunta di un prodotto di due funzioni che si annullano in $p$. Ma da qui come gli associo un elemento di $T^star M$? Mi verrebbe da considerare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine in un punto arbitrario $q in M$: fissato un sistema di coordinate $(x^1, \ldots , x^n)$ attorno a $p$
\[
f(q)=f(p)+ \sum_i (x^i(p)-x^i(q)) \frac{\partial f}{\partial x^i} + \sum_{i,j} (x^i(p)-x^i(q))(x^j(p)-x^j(q)) a_{ij}
\]
dove $a_{ij}$ sono le entrate dell'hessiano. E ora?
Francamente, anche farla come la fa Abate mi pare ostica: l'Abate-Tovena, infatti, chiede di dimostrare che il duale del quoziente è lo spazio tangente. Ma siamo alle solite: com'è fatto un funzionale lineare di questo benedetto quoziente?
Qualunque idea per cominciare è ben accetta. Ringrazio in anticipo.
Sia $M$ una varietà differenziabile (reale) e $p \in M$. Ho definito lo spazio tangente a $M$ in $p$ in due modi: dapprima come spazio delle derivazioni ($RR$-lineari) dei germi in $p$, poi come quoziente dell'insieme delle curve (differenziabili) che passano per $p$ al tempo $t=0$. Quindi ho mostrato che esiste un isomorfismo canonico (di spazi vettoriali) tra le due costruzioni.
Ora, definisco [tex]T^{\star}_pM:=(T_pM)^{\star}[/tex] e guadagno subito la base (canonica) duale.
Esercizio. Sia $F_p$ la spiga dei germi in $p$ e sia
\[
I_p:=\{f \in F_p: f(p)=0\}.
\]
Osservato che $I_p$ è un ideale (dell'algebra sui reali $F_p$), dimostrare che
\[
I_p /I_p^2 \simeq T^{\star}_pM.
\]
Francamente, sono un po' perplesso. Nel quoziente ho [classi di equivalenza di] funzioni che si annullano in $p$ modulo $I_p^2$: in altre parole, ho funzioni nulle in $p$ che "non sentono" l'aggiunta di un prodotto di due funzioni che si annullano in $p$. Ma da qui come gli associo un elemento di $T^star M$? Mi verrebbe da considerare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine in un punto arbitrario $q in M$: fissato un sistema di coordinate $(x^1, \ldots , x^n)$ attorno a $p$
\[
f(q)=f(p)+ \sum_i (x^i(p)-x^i(q)) \frac{\partial f}{\partial x^i} + \sum_{i,j} (x^i(p)-x^i(q))(x^j(p)-x^j(q)) a_{ij}
\]
dove $a_{ij}$ sono le entrate dell'hessiano. E ora?
Francamente, anche farla come la fa Abate mi pare ostica: l'Abate-Tovena, infatti, chiede di dimostrare che il duale del quoziente è lo spazio tangente. Ma siamo alle solite: com'è fatto un funzionale lineare di questo benedetto quoziente?
Qualunque idea per cominciare è ben accetta. Ringrazio in anticipo.
Risposte
CIa0 Paolo,
ho sotto gli occhi il Warner - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups e lui dimostra, utilizzando la tua notazione, che \((I_P/I_P^2)^*\) è isomorfo a \(T_PM\) così: presi \(l\in(I_P/I_P^2)^*;f\in F_P\) si ha che \(l(f-f(P))\) è una derivazione di \(M\) in \(P\)!
Se può aiutarti.
ho sotto gli occhi il Warner - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups e lui dimostra, utilizzando la tua notazione, che \((I_P/I_P^2)^*\) è isomorfo a \(T_PM\) così: presi \(l\in(I_P/I_P^2)^*;f\in F_P\) si ha che \(l(f-f(P))\) è una derivazione di \(M\) in \(P\)!
Se può aiutarti.
In effetti c'è una mappa lineare \[\theta\,\colon\,I_p \to T_p^*M \qquad f \mapsto df_p\] Questa mi pare che sia suriettiva: se le \(x^i\) sono coordinate centrate in \(p\), allora \(c^k \, \mathrm{d}x^k\) è il differenziale di \((x^1,\ldots,x^n) \mapsto c_k x^k\). Rimane da vedere che \(\ker \theta = I_p^2\).
L'inclusione \(I_p^2 \subset \ker \theta\) è la regola di Leibniz. Per l'altra inclusione: se \(f \in I_p\), nelle coordinate \(x^i\) abbiamo \[f(x^1,\ldots,x^n) = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(tx^1,\ldots,tx^n) \, \mathrm{d}t = \sum_{k=1}^n x^k \int_0^1 \frac{\partial f(tx^1,\ldots,tx^n)}{\partial x^k} \, \mathrm{d}t = \sum_{k=1}^n x^k g_k(x^1,\ldots,x^n)\] Se \(df_p = 0\), allora \(g_k(0,\ldots,0) = 0\) per ogni \(k\).
Non so, forse è migliorabile. Chissà se ci si riesce senza passare in coordinate. Saluti.
L'inclusione \(I_p^2 \subset \ker \theta\) è la regola di Leibniz. Per l'altra inclusione: se \(f \in I_p\), nelle coordinate \(x^i\) abbiamo \[f(x^1,\ldots,x^n) = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(tx^1,\ldots,tx^n) \, \mathrm{d}t = \sum_{k=1}^n x^k \int_0^1 \frac{\partial f(tx^1,\ldots,tx^n)}{\partial x^k} \, \mathrm{d}t = \sum_{k=1}^n x^k g_k(x^1,\ldots,x^n)\] Se \(df_p = 0\), allora \(g_k(0,\ldots,0) = 0\) per ogni \(k\).
Non so, forse è migliorabile. Chissà se ci si riesce senza passare in coordinate. Saluti.
Grazie mille, ho letto sul Warner ed è tutto chiaro.
Elvis, bella la tua soluzione! Mi pare corretta ed elegante.
Grazie.
Elvis, bella la tua soluzione! Mi pare corretta ed elegante.
Grazie.
"Paolo90":Prego, e mi raccomando di non dimenticarti di tenere sott'occhio l'ultimo capitolo del Warner.
Grazie mille, ho letto sul Warner ed è tutto chiaro...
Non ho mai capito l'amore di molti geometri differenziali per queste definizioni dello spazio tangente, in particolare quella legata alle derivazioni (e di conseguenza anche quella del cotangente data in questa discussione). Ha infatti un sacco di difetti come definizione:
1. Richiede un sacco di definizioni preliminari per essere compresa
2. E' valida solo per varietà differenziali con regolarità almeno \(C^\infty\).
3. Non è per niente intuitiva.
Quella che fa uso della derivata delle curve sulla superficie è, nonostante tutto, molto più generale e intuitiva anche se spesso vista come inferiore. E' però incredibilmente basata sulle coordinate e troppo analitica per i miei gusti.
Quella che ho sempre preferito, valida per ogni varietà di classe almeno \(C^1\), è quella di definire \(T_p\,M\) come l'insieme (dove \(n\) è la dimensione di \(M\))
\[ X = \{ (U, \varphi, u) \mid \forall (U, \varphi) \text{ carta contenente $p$ }, v \in \mathbb R^n \} \]
con la relazione di equivalenza \( (U, \varphi, u) \sim (V, \psi, v) \) se e solo se \( (\psi \, \varphi^{-1})' (\varphi\,p)\, u = v \). Molte delle proprietà degli spazi tangenti si possono dimostrare in poche righe usando questa definizione ed è abbastanza intuitiva (una copia di \(\mathbb R^n\) in cui i vettori si trasformano in un modo particolare cambiando sistema di coordinate).
1. Richiede un sacco di definizioni preliminari per essere compresa
2. E' valida solo per varietà differenziali con regolarità almeno \(C^\infty\).
3. Non è per niente intuitiva.
Quella che fa uso della derivata delle curve sulla superficie è, nonostante tutto, molto più generale e intuitiva anche se spesso vista come inferiore. E' però incredibilmente basata sulle coordinate e troppo analitica per i miei gusti.
Quella che ho sempre preferito, valida per ogni varietà di classe almeno \(C^1\), è quella di definire \(T_p\,M\) come l'insieme (dove \(n\) è la dimensione di \(M\))
\[ X = \{ (U, \varphi, u) \mid \forall (U, \varphi) \text{ carta contenente $p$ }, v \in \mathbb R^n \} \]
con la relazione di equivalenza \( (U, \varphi, u) \sim (V, \psi, v) \) se e solo se \( (\psi \, \varphi^{-1})' (\varphi\,p)\, u = v \). Molte delle proprietà degli spazi tangenti si possono dimostrare in poche righe usando questa definizione ed è abbastanza intuitiva (una copia di \(\mathbb R^n\) in cui i vettori si trasformano in un modo particolare cambiando sistema di coordinate).
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