Una proprietà della $x$-sezione
Ciao, amici! Sia $U$ un intorno del punto \((x_0,y_0)\in X\times Y\) dove \(X\times Y\) ha la topologia prodotto delle topologie definite dalla norma su $X$ e $Y$, che sono spazi di Banach.
Leggo (teorema della funzione implicita, p. 485 qui), che, chiamata \(U_{(x)}\) la totalità di $y$ per i quali \((x,y)\in U\) per un dato $x$, si può scegliere la differenza \(\|x-x_0\|\) così piccola che \(y_0\in U_{(x)}\).
Non vedo perché accade questo. Qualcuno sarebbe così buono da spiegarmi perché si può scegliere un tale $x$ in questo modo? Sembrerebbe una sorta di proprietà di continuità...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Leggo (teorema della funzione implicita, p. 485 qui), che, chiamata \(U_{(x)}\) la totalità di $y$ per i quali \((x,y)\in U\) per un dato $x$, si può scegliere la differenza \(\|x-x_0\|\) così piccola che \(y_0\in U_{(x)}\).
Non vedo perché accade questo. Qualcuno sarebbe così buono da spiegarmi perché si può scegliere un tale $x$ in questo modo? Sembrerebbe una sorta di proprietà di continuità...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
La topologia prodotto (di un insieme finito di spazi) è metrizabile e si può tranquillamente costruire una metrica che sia costruita a partire da quella di \(X\) e \(Y\). Esiste quindi \(\epsilon\) tale che \(\displaystyle B_{\epsilon}\bigl((x_0,y_0)\bigr) \subseteq U \) e \(d\bigl( (x,y_0), (x_0,y_0) \bigr) = \lVert x - x_0 \rVert\). Perciò basta scegliere un \(x\) che dista meno di \(\displaystyle \epsilon \) da \(\displaystyle x_0 \)
Credo di aver capito... $\infty$ grazie!
Comunque in realtà era anche più facile. Una base della topologia prodotto è data dagli insiemi del tipo \(A\times B\) dove \(A\) e \(B\) sono palle aperte negli spazi considerati. Perciò \(U\) contiene un sottoinsieme di questo tipo.
"vict85":Grazie ancora! Già, è ciò che ho afferrato dalla tua risposta.
Una base della topologia prodotto è data dagli insiemi del tipo \(A\times B\) dove \(A\) e \(B\) sono palle aperte negli spazi considerati. Perciò \(U\) contiene un sottoinsieme di questo tipo.
Tuttavia, la questione della metrizzabilità mi sembra rientrare in affermazioni e anche come strumento di dimostrazione nel seguito del testo, nonostante non sia mai stata affrontata nel libro. Esiste una norma "canonica" su un prodotto di spazi normati? Per esempio ho l'impressione che \(\|(x,y)\|:=\|x\|_X+\|y\|_Y\) conservi la topologia prodotto di \(X\times Y\): o sbaglio?
$\infty$ grazie ancora!!!
Sì, esatto: prova a dimostrarlo!
Grazie di cuore! Nonostante con il Kolmogorov-Fomin mi debba inventare un sacco di cose per colmare continuamente vuoti concettuali presenti nelle dimostrazioni, spesso arrivando a convincermi di stupidaggini di cui mi accorgo magari un mese dopo, qualche volta ci azzecco.
Basi di intorni di $x\in X$ e di $y\in Y$ rispettivamente sono le sfere aperte \(\{B(x,\varepsilon):\varepsilon>0\}\) e \(\{B(y,\varepsilon):\varepsilon>0\}\) (cfr. E. Sernesi, Geometria 2, p.15) e ogni base di intorni determina una topologia mentre ogni topologia determina una base di intorni di un punto dello spazio topologico considerato (E. Sernesi, op. cit., p. 15). Ora, so che (E. Sernesi, op. cit., p. 62) una base di intorni di \((x,y)\) nella topologia prodotto di $X\times Y$, come emerge anche da quanto detto da Vict, è costituita da \(\{B(x,\varepsilon_1)\times B(y,\varepsilon_2):\varepsilon_1,\varepsilon_2>0 \}\) e quindi anche \(\mathcal{B}(x,y):=\{B(x,\varepsilon)\times B(y,\varepsilon):\varepsilon>0 \}\), scegliendo \(\varepsilon:=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}\). Ma, se un punto \((x',y')\in X\times Y\) soddisfa a \(\|x'-x\|+\|y'-y\|<\varepsilon\), allora \((x',y')\in B(x,\varepsilon)\times B(y,\varepsilon)\) e, d'altra parte, se \((x',y')\in B(x,\varepsilon/2)\times B(y,\varepsilon/2)\) allora \(\|x'-x\|+\|y'-y\|<\varepsilon\), quindi la norma costruita induce una metrica che determina un sistema di intorni di \((x,y)\) equivalente a \(\mathcal{B}(x,y)\) e quindi la stessa topologia.
Come direbbe il Kolmogorov-Fomin, che sarei già felice se dimostrasse le cose con tanta dovizia di particolari, si lasciano i facili dettagli al lettore.
No, scherzo, sempre che questa dimostrazione sia corretta, se qualcuno che passi di qua vuole delucidazioni, sono ben disponibile, a meno che, nel frattempo, no mi sia del tutto rimbambito.
Basi di intorni di $x\in X$ e di $y\in Y$ rispettivamente sono le sfere aperte \(\{B(x,\varepsilon):\varepsilon>0\}\) e \(\{B(y,\varepsilon):\varepsilon>0\}\) (cfr. E. Sernesi, Geometria 2, p.15) e ogni base di intorni determina una topologia mentre ogni topologia determina una base di intorni di un punto dello spazio topologico considerato (E. Sernesi, op. cit., p. 15). Ora, so che (E. Sernesi, op. cit., p. 62) una base di intorni di \((x,y)\) nella topologia prodotto di $X\times Y$, come emerge anche da quanto detto da Vict, è costituita da \(\{B(x,\varepsilon_1)\times B(y,\varepsilon_2):\varepsilon_1,\varepsilon_2>0 \}\) e quindi anche \(\mathcal{B}(x,y):=\{B(x,\varepsilon)\times B(y,\varepsilon):\varepsilon>0 \}\), scegliendo \(\varepsilon:=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}\). Ma, se un punto \((x',y')\in X\times Y\) soddisfa a \(\|x'-x\|+\|y'-y\|<\varepsilon\), allora \((x',y')\in B(x,\varepsilon)\times B(y,\varepsilon)\) e, d'altra parte, se \((x',y')\in B(x,\varepsilon/2)\times B(y,\varepsilon/2)\) allora \(\|x'-x\|+\|y'-y\|<\varepsilon\), quindi la norma costruita induce una metrica che determina un sistema di intorni di \((x,y)\) equivalente a \(\mathcal{B}(x,y)\) e quindi la stessa topologia.
Come direbbe il Kolmogorov-Fomin, che sarei già felice se dimostrasse le cose con tanta dovizia di particolari, si lasciano i facili dettagli al lettore.
No, scherzo, sempre che questa dimostrazione sia corretta, se qualcuno che passi di qua vuole delucidazioni, sono ben disponibile, a meno che, nel frattempo, no mi sia del tutto rimbambito.
Il ragionamento corretto;
ed aggiungo che il Kolmogorov - Fomin non è un libro per principianti, richiede un pò di conoscenze.
ed aggiungo che il Kolmogorov - Fomin non è un libro per principianti, richiede un pò di conoscenze.
"j18eos":Già...
il Kolmogorov - Fomin non è un libro per principianti
Quanto alla mia dimostrazione, mi sembra importante sottolineare che la sfera \(\{(x',y')\in X\times Y:\|x'-x\|_X+\|y'-y\|_Y<\varepsilon\}\) è aperta nella topologia prodotto e che \(B(x,\varepsilon)\times B(y,\varepsilon)\) è aperto nella topologia definita dalla norma \(\|x\|_X+\|y\|_Y\).
Per la prima direi che ciò si può mostrare notando che \(\{(x',y')\in X\times Y:\|x'-x\|_X+\|y'-y\|_Y<\varepsilon\}=\bigcup_{0<\sigma<\varepsilon}(B(x,\sigma)\times B(y,\varepsilon-\sigma))\), ma la seconda non mi viene così facile... Come si può dimostrare?
$\infty$ grazie ancora!
Sei un amante dei calcoli.
Siccome le traslazioni e le mappe del tipo \(\displaystyle \mathbb{x}\mapsto c\mathbb{x} \) sono continue in tutte le topologie coinvolte ti basta lavorare con palle centrate in \(\displaystyle 0 \).
Ovvero è sufficiente mostrare che:
[list=1][*:3nobw4gq] \(\displaystyle \pi_X^{-1}B(\mathbb{0}_X, 1) \) e \(\displaystyle \pi_Y^{-1}B(\mathbb{0}_Y, 1) \) sono aperti.[/*:m:3nobw4gq]
[*:3nobw4gq] \(\displaystyle B(\mathbf{0}_{X\times Y}, 1) = \pi_X^{-1}B(\mathbb{0}_X, 1)\cap \pi_Y^{-1}B(\mathbb{0}_Y, 1) \) [/*:m:3nobw4gq][/list:o:3nobw4gq]
Il secondo è banale.
Siccome le traslazioni e le mappe del tipo \(\displaystyle \mathbb{x}\mapsto c\mathbb{x} \) sono continue in tutte le topologie coinvolte ti basta lavorare con palle centrate in \(\displaystyle 0 \).
Ovvero è sufficiente mostrare che:
[list=1][*:3nobw4gq] \(\displaystyle \pi_X^{-1}B(\mathbb{0}_X, 1) \) e \(\displaystyle \pi_Y^{-1}B(\mathbb{0}_Y, 1) \) sono aperti.[/*:m:3nobw4gq]
[*:3nobw4gq] \(\displaystyle B(\mathbf{0}_{X\times Y}, 1) = \pi_X^{-1}B(\mathbb{0}_X, 1)\cap \pi_Y^{-1}B(\mathbb{0}_Y, 1) \) [/*:m:3nobw4gq][/list:o:3nobw4gq]
Il secondo è banale.
"vict85":
Sei un amante dei calcoli.
Non mi piace lasciare niente a ragionamenti pericolosamente vicini alla mera intuizione..."vict85":Sì, è il primo che mi dà qualche filo da torcere, nonostante a prima vista mi sembrasse ovvio...
Il secondo è banale.
"DavideGenova":
[quote="vict85"]Sei un amante dei calcoli.
Non mi piace lasciare niente a ragionamenti pericolosamente vicini alla mera intuizione..."vict85":Sì, è il primo che mi dà qualche filo da torcere, nonostante a prima vista mi sembrasse ovvio...[/quote]
Il secondo è banale.
Solo perché non hai capito il trucco.
Il primo è semplicemente \(\displaystyle \pi_X^{-1}B(\mathbb{0}_X, 1) = B(\mathbb{0}_X, 1)\times Y = \bigcup_{i\in \mathbb{Z}} B(\mathbb{0}_X, 1)\times B\biggl( \frac{i}{2}, 1\biggr) = \bigcup_{i\in \mathbb{Z}} B\biggl( \Bigl(0,\frac{i}{2}\Bigr), 1\biggr) \) e similmente per l'altro.
Grazie ancora! Mmh... non sono certo di capire che cosa sia $B(i/2,1)$... $\infty$ grazie!!
Scusa, ho semplifcato pensando a \(\mathbb{R}\). Devi considerare \(\displaystyle \bigcup_{p\in Y} B(0_X,1)\times B(p,1)\).
Perdonami, mi sa che io non ci stia capendo granché... Per dimostrare che \(B(x,\varepsilon)\times B(y,\varepsilon)\) è aperto nella topologia definita dalla norma \(\|(x,y)\|_{X\times Y}:=\|x\|_X+\|y\|_Y\) (avevo scritto prima per seconda qui: chiedo venia se ho causato qualche equivoco) è sufficiente mostrare che \(\displaystyle \pi_X^{-1}B(\mathbb{0}_X, 1) \) e \(\displaystyle \pi_Y^{-1}B(\mathbb{0}_Y, 1) \) sono aperti e \(\displaystyle B(\mathbf{0}_{X\times Y}, 1) = \pi_X^{-1}B(\mathbb{0}_X, 1)\cap \pi_Y^{-1}B(\mathbb{0}_Y, 1) \)? Probabilmente quello scambio tra le parole prima e seconda non ha fatto capire ciò che intendevo...
Certo, se vedessi che \(B(0_X,1)\times Y\) è aperto nella topologia indotta da \(\|\cdot\|_{X\times Y}\), ma a rappresentarlo come unione, o intersezione finita, di sfere aperte di tale topologia di forma \(B(0_{X\times Y},\varepsilon):=\{x\in X,y\in Y:\|x\|_X+\|y\|_Y<\varepsilon\}\)...
Grazie di cuore ancora e scusa la durezza di cervice...
Certo, se vedessi che \(B(0_X,1)\times Y\) è aperto nella topologia indotta da \(\|\cdot\|_{X\times Y}\), ma a rappresentarlo come unione, o intersezione finita, di sfere aperte di tale topologia di forma \(B(0_{X\times Y},\varepsilon):=\{x\in X,y\in Y:\|x\|_X+\|y\|_Y<\varepsilon\}\)...
Grazie di cuore ancora e scusa la durezza di cervice...
La topologia prodotto su \(\displaystyle X\times Y \) è la topologia meno fine tale da rendere \(\displaystyle \pi_X \) e \(\displaystyle \pi_Y \) continue. Tu ora hai due topologie su \(\displaystyle X\times Y \): la prima, che chiamo \(\displaystyle \tau_1 \), è quella prodotto; la seconda, che chiamo \(\displaystyle \tau_2 \), è quella indotta dalla norma.
Al fine di dimostrare che coincidono procedo dimostrando le seguenti cose:
[list=1][*:1t69nb8p] \(\displaystyle \pi_X\colon (X\times Y, \tau_2)\to X \) è continua.[/*:m:1t69nb8p]
[*:1t69nb8p] \(\displaystyle \pi_Y\colon (X\times Y, \tau_2)\to Y \) è continua.[/*:m:1t69nb8p]
[*:1t69nb8p] \(\displaystyle \tau_1 > \tau_2 \) ovvero che gli aperti di \(\displaystyle \tau_2 \) sono aperti in \(\displaystyle \tau_1 \) [/*:m:1t69nb8p][/list:o:1t69nb8p]
Avevo poi fatto varie considerazioni per semplificare i calcoli.
Mi sono reso conto che avevo, però, usato la funzione distanza \(\displaystyle d_{X\times Y} = \max(d_x, d_y) \) che semplificava un po' i calcoli. Comunque non è complicatissimo neanche con quella che hai usato tu, richiede solo qualche calcolo in più.
Al fine di dimostrare che coincidono procedo dimostrando le seguenti cose:
[list=1][*:1t69nb8p] \(\displaystyle \pi_X\colon (X\times Y, \tau_2)\to X \) è continua.[/*:m:1t69nb8p]
[*:1t69nb8p] \(\displaystyle \pi_Y\colon (X\times Y, \tau_2)\to Y \) è continua.[/*:m:1t69nb8p]
[*:1t69nb8p] \(\displaystyle \tau_1 > \tau_2 \) ovvero che gli aperti di \(\displaystyle \tau_2 \) sono aperti in \(\displaystyle \tau_1 \) [/*:m:1t69nb8p][/list:o:1t69nb8p]
Avevo poi fatto varie considerazioni per semplificare i calcoli.
Mi sono reso conto che avevo, però, usato la funzione distanza \(\displaystyle d_{X\times Y} = \max(d_x, d_y) \) che semplificava un po' i calcoli. Comunque non è complicatissimo neanche con quella che hai usato tu, richiede solo qualche calcolo in più.
Gentilissimo: mi hai aperto gli occhi. (1) e (2) sono banali, mentre (3) direi di averla dimostrata qui. Quod (spero fuisse) demonstrandum.
Grazie di cuore!
Grazie di cuore!
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