Una proprietà del determinante non mi è chiara
Buongiorno a tutti, gurdando nel formulario di questo sito le proprietà del determinante mi sono imbattuto in una proprietà il cui sviluppo non mi è chiaro, ecco di cosa si tratta:
Se A è una matrice quadrata, e B è una matrice ottenuta ad una riga (o una colonna) di A un'altra riga (o colonna) eventualmente moltiplicata per λ∈ℝ, allora
det(B)=det(A)
Quello che ho tentato di fare io è utilizzare una matrice B con gli stessi valori della matrice A, ma con una riga qualsiasi della matrice A moltiplicata per un numero λ, ma dopo diversi tentatiivi in nessuno dei casi il determinante della matrice di partenza A mi risulta uguale a quello della matrice B.
Evidentemente ho interpretato male io la proprietà 
Qualcuno mi potrebbe spiegare in modo chiaro questa proprietà?
Se A è una matrice quadrata, e B è una matrice ottenuta ad una riga (o una colonna) di A un'altra riga (o colonna) eventualmente moltiplicata per λ∈ℝ, allora
det(B)=det(A)
Quello che ho tentato di fare io è utilizzare una matrice B con gli stessi valori della matrice A, ma con una riga qualsiasi della matrice A moltiplicata per un numero λ, ma dopo diversi tentatiivi in nessuno dei casi il determinante della matrice di partenza A mi risulta uguale a quello della matrice B.
Evidentemente ho interpretato male io la proprietà Qualcuno mi potrebbe spiegare in modo chiaro questa proprietà?
Risposte
"...è una matrice ottenuta ad una riga..." volevi dire "aggiunta ad una riga"? Non voglio essere pignolo, lo chiedo solo per capire il problema.
La proprietà è questa: detta $L_1$ una generica riga (o colonna) di $A$, se tale riga si sostituisce con la riga stessa sommata con un'altra riga $L_j$ (moltiplicata eventualmente per uno scalare $lambda$) allora il determinante non cambia.
La sotituzione è quindi:
$L'_i = L_i + lambda L_j$ [1]
Questa è un'operazione chiamata "determinantale", perchè lascia invariato il determinante. Bisogna fare attenzione a non moltiplicare la riga che viene sostituita ($L_i$) per uno scalare, altrimenti si ottiene $det(B) = lambda det(A)$ [2]
Analogamente, moltiplicando tutta la matrice per $lambda$, se $n$ è l'ordine della matrice, si ha $det(B) = lambda^n det(A)$
Scambiando due righe, inoltre, il determinante cambia di segno, cioè $det(B) = - det(A)$
Solo l'operazione [1] è determinantale; nei tentativi che hai fatto tu la riga $L_i$ è stata moltiplicata per lo scalare, quindi sei ricaduto erroneamente nel caso [2].
La proprietà è questa: detta $L_1$ una generica riga (o colonna) di $A$, se tale riga si sostituisce con la riga stessa sommata con un'altra riga $L_j$ (moltiplicata eventualmente per uno scalare $lambda$) allora il determinante non cambia.
La sotituzione è quindi:
$L'_i = L_i + lambda L_j$ [1]
Questa è un'operazione chiamata "determinantale", perchè lascia invariato il determinante. Bisogna fare attenzione a non moltiplicare la riga che viene sostituita ($L_i$) per uno scalare, altrimenti si ottiene $det(B) = lambda det(A)$ [2]
Analogamente, moltiplicando tutta la matrice per $lambda$, se $n$ è l'ordine della matrice, si ha $det(B) = lambda^n det(A)$
Scambiando due righe, inoltre, il determinante cambia di segno, cioè $det(B) = - det(A)$
Solo l'operazione [1] è determinantale; nei tentativi che hai fatto tu la riga $L_i$ è stata moltiplicata per lo scalare, quindi sei ricaduto erroneamente nel caso [2].
E' più facile vederlo attraverso la definizione "vettoriale" del determinante....
Cioé la definizione come forma n-lineare alternante tale che $det(bb{e}_1, bb{e}_2, bb{e}_3 ... bb{e}_n) = 1$. Si dimostra che data una base essa è unica.
Il legame con la matrice è che il determinante e la forma n-lineare alternante ... dello spazio delle righe (colonne). Ovviamente la base di tale spazio a cui si riferisce sono le righe (colonne) della matrice $I$.
Per una forma lineare alternante valgono le seguenti proprietà:
$f(...,bb{v}+bb{w},...) = f(...,bb{v},...) + f(...,bb{w},...)$
$f(...,lambda bb{v},...) = lambda f(...,bb{v},...)$
Per $sigma in S_n$
$f(bb{v}_{sigma(1)}, bb{v}_{sigma(2)}, ..., bb{v}_{sigma(n)}) = sgn(sigma) f(bb{v}_1, bb{v}_2, ... bb{v}_n)$
$f(...,bb{v}, ..., bb{v},...) = 0$
La proprietà a cui tu fai riferimento e che tu hai frainteso è la seguente:
$f(..., bb{v}_i + lambda bb{v}_j, ...) = f(bb{v}_1, bb{v}_2, ..., bb{v}_n)$
La cui dimostrazione è questa:
$f(..., bb{v}_i + lambda bb{v}_j, ...) = f(bb{v}_1, bb{v}_2, ..., bb{v}_n) + lambda f(...,bb{v}_j,...,bb{v}_j,...) = f(bb{v}_1, bb{v}_2, ..., bb{v}_n)$
Cioé la definizione come forma n-lineare alternante tale che $det(bb{e}_1, bb{e}_2, bb{e}_3 ... bb{e}_n) = 1$. Si dimostra che data una base essa è unica.
Il legame con la matrice è che il determinante e la forma n-lineare alternante ... dello spazio delle righe (colonne). Ovviamente la base di tale spazio a cui si riferisce sono le righe (colonne) della matrice $I$.
Per una forma lineare alternante valgono le seguenti proprietà:
$f(...,bb{v}+bb{w},...) = f(...,bb{v},...) + f(...,bb{w},...)$
$f(...,lambda bb{v},...) = lambda f(...,bb{v},...)$
Per $sigma in S_n$
$f(bb{v}_{sigma(1)}, bb{v}_{sigma(2)}, ..., bb{v}_{sigma(n)}) = sgn(sigma) f(bb{v}_1, bb{v}_2, ... bb{v}_n)$
$f(...,bb{v}, ..., bb{v},...) = 0$
La proprietà a cui tu fai riferimento e che tu hai frainteso è la seguente:
$f(..., bb{v}_i + lambda bb{v}_j, ...) = f(bb{v}_1, bb{v}_2, ..., bb{v}_n)$
La cui dimostrazione è questa:
$f(..., bb{v}_i + lambda bb{v}_j, ...) = f(bb{v}_1, bb{v}_2, ..., bb{v}_n) + lambda f(...,bb{v}_j,...,bb{v}_j,...) = f(bb{v}_1, bb{v}_2, ..., bb{v}_n)$
Ringrazio tutti per le risposte molto esaurienti, adesso ho capito bene, ma comunque la definizione che ho riportato qui è copiata alla lettera di come l'ho letta nel formulario (se cercate determinante nel formulario, è credo la terzultima proprietà prima del metodo di Sarrus).
Nell'applicare questa propietà anzi di "sommare" l'elemento λ ad una riga (o colonna) qualsiasi lo moltiplicavo, per poi tovarmi nel calcolo del determinante due valori completamente diversi, e nel capire il perchè di quest'errore mi avvicinavo erroneamente alla proprietà secondo il quale moltiplicando tutti gli elementi della matrice A per uno scalare λ la matrice B risultante aveva determinante uguale (cosa che comunque non poteva avvenire in questo caso)
Comunque adesso che mi avete tolto questo dubbio vi ringrazio!!
Buona giornata!
Nell'applicare questa propietà anzi di "sommare" l'elemento λ ad una riga (o colonna) qualsiasi lo moltiplicavo, per poi tovarmi nel calcolo del determinante due valori completamente diversi, e nel capire il perchè di quest'errore mi avvicinavo erroneamente alla proprietà secondo il quale moltiplicando tutti gli elementi della matrice A per uno scalare λ la matrice B risultante aveva determinante uguale (cosa che comunque non poteva avvenire in questo caso)
Comunque adesso che mi avete tolto questo dubbio vi ringrazio!!
Buona giornata!
"Sergio":
PS: Noto, prima di salvare, l'esauriente risposta di VINX89. Salvo comunque per mostrare l'esempio.
Il ringraziamento a Sergio è dovuto al fatto che lui usa "Anteprima" prima di salvare. Vero?
Se è così, grazie mille. Ottimo esempio per tutti gli utenti del forum.
Se non è così, mi rimangio tutto
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