Una matrice da invertire
Salve,
In un esercizio è richiesto di invertire la seguente matrice:
$A=I4ww^T$ dove $w=[1/sqrt2,-1/sqrt2, 1/sqrt2]^T$
Secondo il testo la matrice è invertibile, secondo i miei calcoli non lo è.
Ho calcolato prima $ww^T=[(1/2,-1/2,1/2),(-1/2,1/2,-1/2),(1/2,-1/2,1/2)]$
Poi ho moltiplicato per $4$ ottenendo $[(2,-2,2),(-2,2,-2),(2,-2,2)]$
Infine la matrice identità è elemento neutro rispetto al prodotto quindi la matrice $A$ è l'ultima sopra ottenuta, la quale è non invertibile in quanto il determinante è nullo.
Mi chiedo dove sto sbagliando. (L'esercizio continua chiedendo cose per cui serve l'inversa di $A$).
In un esercizio è richiesto di invertire la seguente matrice:
$A=I4ww^T$ dove $w=[1/sqrt2,-1/sqrt2, 1/sqrt2]^T$
Secondo il testo la matrice è invertibile, secondo i miei calcoli non lo è.
Ho calcolato prima $ww^T=[(1/2,-1/2,1/2),(-1/2,1/2,-1/2),(1/2,-1/2,1/2)]$
Poi ho moltiplicato per $4$ ottenendo $[(2,-2,2),(-2,2,-2),(2,-2,2)]$
Infine la matrice identità è elemento neutro rispetto al prodotto quindi la matrice $A$ è l'ultima sopra ottenuta, la quale è non invertibile in quanto il determinante è nullo.
Mi chiedo dove sto sbagliando. (L'esercizio continua chiedendo cose per cui serve l'inversa di $A$).
Risposte
Certo che non e' invertibile, tutte le righe sono lin.dip. e il determinante e' zero.
Siamo sicuri che sia corretto $w=[1/sqrt2,-1/sqrt2, 1/sqrt2]^T$ ?
Ovvero che il vettore vada trasposto ?
Siamo sicuri che sia corretto $w=[1/sqrt2,-1/sqrt2, 1/sqrt2]^T$ ?
Ovvero che il vettore vada trasposto ?
"Quinzio":
Certo che non e' invertibile, tutte le righe sono lin.dip. e il determinante e' zero.
Siamo sicuri che sia corretto $w=[1/sqrt2,-1/sqrt2, 1/sqrt2]^T$ ?
Ovvero che il vettore vada trasposto ?
Sicuro, anche perché se così non fosse si otterrebbe una matrice 1x1, il che è insolito.
Ecco comunque il testo completo dell'esercizio:
Credo che sia una scrittura compatta per dire di sovrascrivere la matrice identità alla matrice $4ww^t$ e forse anche invertire tutti i segni.
Lo dico non perché la conosco, ma perché in rete ho trovato la soluzione: https://bugs.unica.it/~luisa/Esercitazi ... pp2122.pdf
La soluzione è ermetica quanto il testo dell'esercizio, ma siccome B è l'inversa di A per $alpha=2$, invertendo B si ottiene la matrice:
$A=((-1,2,-2),(2,-1,2),(-2,2,-1))$
Lo dico non perché la conosco, ma perché in rete ho trovato la soluzione: https://bugs.unica.it/~luisa/Esercitazi ... pp2122.pdf
La soluzione è ermetica quanto il testo dell'esercizio, ma siccome B è l'inversa di A per $alpha=2$, invertendo B si ottiene la matrice:
$A=((-1,2,-2),(2,-1,2),(-2,2,-1))$
"ingres":
Credo che sia una scrittura compatta per dire di sovrascrivere la matrice identità alla matrice $4ww^t$ e forse anche invertire tutti i segni.
Lo dico non perché la conosco, ma perché in rete ho trovato la soluzione: https://bugs.unica.it/~luisa/Esercitazi ... pp2122.pdf
La soluzione è ermetica quanto il testo dell'esercizio, ma siccome B è l'inversa di A per $alpha=2$, invertendo B si ottiene la matrice:
$A=((-1,2,-2),(2,-1,2),(-2,2,-1))$
A me sono sembrate delle semplici moltiplicazioni in sequenza.
Non ho mai sentito parlare di sovrascrittura di matrici.
Bah .. La matrice A è quella che ho riportato, ma con le operazioni in sequenza non si ricava.
Però nel frattempo mi è venuta un'altra idea di interpretazione ovvero che sia
$I-4ww^t$
ovvero che manchi un segno negativo
Però nel frattempo mi è venuta un'altra idea di interpretazione ovvero che sia
$I-4ww^t$
ovvero che manchi un segno negativo
Scusa ingres ma il sito dove l'hai trovata si chiama "bugs": non è che voglia dire qualcosa? 
"ingres":
Bah .. La matrice A è quella che ho riportato, ma con le operazioni in sequenza non si ricava.
Però nel frattempo mi è venuta un'altra idea di interpretazione ovvero che sia
$I-4ww^t$
ovvero che manchi un segno negativo
Ho completato l'esercizio prendendo per buono $I-4ww^T$.
Vi ringrazio.
Confermo che manca un segno \(-\);
questo è un esercizio ispirato da un altro esercizio presente nel libro di M. Artin - Algebra.
questo è un esercizio ispirato da un altro esercizio presente nel libro di M. Artin - Algebra.
"axpgn":
Scusa ingres ma il sito dove l'hai trovata si chiama "bugs": non è che voglia dire qualcosa?
Ciao Alex
Il sito è quello ufficiale del
Cagliari Numerical Analysis Group (CaNA)
https://bugs.unica.it/cana/
ma non so se l'hanno chiamato così per senso dell'umorismo o per mettere le mani avanti
Tutt'e due
Se possibile continuo qui visto che l'argomento è molto simile.
Dato il seguente sistema lineare:
${(2x_1+alphax_2+x_3=1),(alphax_1+2x_2=1),(x_1+2x_3=1):}$
Dove $alpha$ è un parametro reale, stabilire per quali valori del parametro la matrice dei coefficienti è invertibile.
Io ho calcolato ($A$ matrice dei coefficienti):
$detA=det((2,alpha,1),(alpha,2,0),(1,0,2))=6-2alpha^2$
$detA=0leftrightarrow6-2alpha^2=0leftrightarrowalpha=+-sqrt3$
Quindi la matrice dei coefficienti è invertibile per $alphainRR\\{-sqrt3,sqrt3}$
Secondo il testo invece dovrebbe venire $alphainRR\\{-1,1}$
Dato il seguente sistema lineare:
${(2x_1+alphax_2+x_3=1),(alphax_1+2x_2=1),(x_1+2x_3=1):}$
Dove $alpha$ è un parametro reale, stabilire per quali valori del parametro la matrice dei coefficienti è invertibile.
Io ho calcolato ($A$ matrice dei coefficienti):
$detA=det((2,alpha,1),(alpha,2,0),(1,0,2))=6-2alpha^2$
$detA=0leftrightarrow6-2alpha^2=0leftrightarrowalpha=+-sqrt3$
Quindi la matrice dei coefficienti è invertibile per $alphainRR\\{-sqrt3,sqrt3}$
Secondo il testo invece dovrebbe venire $alphainRR\\{-1,1}$
Ciao AnalisiZero
Anche a me risulta lo stesso e quindi ho paura che ci sia di nuovo qualche errore nel testo oppure nella risposta.
Anche a me risulta lo stesso e quindi ho paura che ci sia di nuovo qualche errore nel testo oppure nella risposta.
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